- L'Ă©quation $~z^3=1~$ admet comme racines:
$$e^{i\frac{k2\pi}{3}}\quad :k=0,1,2$$
En posant: $~~j=e^{i\frac{2\pi}{3}}~~$; ces racine peuvent ĂȘtre exprimĂ©s comme suit:
$$1,~j,~j^2$$
D'autre part: $$(j-1)(1+j+j^2)=j^3-1=0$$ Et puisque $j\neq 1$ alors on en déduit: $$1+j+j^2=0$$ On en déduit que $~j~$ est une racine de l'équation: $$z^2+z+1=0$$ Et puisque cette équation quadratique est à coefficients réels alors $~~\bar j~~$ est aussi une racine de cette équation.
Or: $$\bar{j}=\dfrac{1}{j}=j^2~$$ Donc les racines de cette Ă©quations sont $~j~$ et $~j^2~$
- l'Ă©quation $~~z^n=1~~$ admet $~n~$ racines: $~e^{i\frac{k2\pi}{n}}\quad :(k=0,1,\cdots,n-1)$
En posant: $~\epsilon=e^{i\frac{k2\pi}{n}}$ ces racines peuvent ĂȘtre Ă©crite: $~1,\epsilon,\epsilon^2,\cdots,\epsilon^{n-1}~$.
L'Ă©quation: $z^n-1=0$ est Ă©quivalente Ă :
$(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1)=0$
Ce qui implique: $$(~z=1~) \qquad\text{ou}\qquad~~(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1)=0$$ On en déduits que les racines de: $$(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1)=0$$ sont : $$\epsilon,\epsilon^2,\cdots,\epsilon^p,\cdots,\epsilon^{n-1}$$ - Puisque $\epsilon^p$ est une racine de de l'équation: $$~~(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1)=0$$ Alors: $$1+(\epsilon^p)+(\epsilon^p)^2\cdots+(\epsilon^p)^{n-1}=0$$ Ce qui signifie: $$1+\epsilon^p+\epsilon^{2p}\cdots+\epsilon^{(n-1)p}=0$$