-
Soit l'équation:
$$~~z^2+z+1=0$$
cette équation est classique et ses solutions sont la deuxième et la troisième racine cubique de l'unité à savoir $$j=e^{i\frac{2\pi}{3}} \qquad\textit{et} \qquad j^2=e^{i\frac{4\pi}{3}}$$
On va quand même résoudre cette équation par la méthode de complétion des carrés:
L'équation: $$~~z^2+z+1=0~~$$ est équivalente à: $$\left(z+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}=0$$ Factorisant: $$\left(z+\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\left(z+\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(z+\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ Les solutions sont: $$z_1=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=j$$ Et $$z_2=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=j^2$$ - Soit l'équation: $$z^2-(1+2i)z+(i-1)=0$$ Le discriminant est: $$\Delta=(1+2i)^2-4(i-1)$$ Soit: $$~~\Delta = 1$$ Les racines en découlent: $$z_1=\dfrac{(1+2i)-1}{2}=i$$ $$z_2=\dfrac{(1+2i)+1}{2}=1+i$$
- On considère l'équation:
$$z^2-\sqrt{3}z-i=0$$
Le discriminent:
$$\Delta= (\sqrt{3})^2+4i=3+4i$$
Soit:
$$\Delta=(2+i)^2$$
Les racines:
$$\color{magenta}\boxed{z_1=\dfrac{(\sqrt{3}-2)-i}{2}}$$
Et:
$$\color{magenta}\boxed{z_2=\dfrac{(\sqrt{3}+2)+i}{2}}$$
- Soit à résoudre l'équation: $$z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0$$ Le discriminent: $$\Delta=(5-14i)^2+4\times 2(5i+12)=-75-100i$$ Soit: $$~~\Delta=(5-10i)^2$$ Les racines: $$\color{magenta}\boxed{z_1=-2i}$$ Et: $$\color{magenta}\boxed{z_2=5-12i}$$
- Soit l'équation: $$z^2-(3+4i)z-(1-5i)=0$$ $$\Delta=(3+4i)^2+4(1-5i)=-3+4i$$ Soit: $$\Delta=(1+2i)^2$$ Les racines sont: $$\color{magenta}\boxed{z_1=1+i}$$ Et: $$\color{magenta}\boxed{z_2=2+3i}$$
- Soit à résoudre:
$$4z^2-2z+1=0$$
En posant: $~~s=2z~$ l'équation devient:
$$~~s^2-s+1=0$$
En multipliant cette dernière équation par $s+1$ on obtient:
$$s^3+1=0\quad (*)$$
Et donc:
$$s^3=-1=e^{i\pi}$$
On en déduit les racines cubiques $~~s_k~~$ de $~~(-1)$:
$$~~\arg s_k=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k2\pi}{3}~~:\qquad ( k=0,1,2)$$
Et puisque $~|s|=1~$ alors l'ensemble S des racines cubiques de $(-1)$ est donné par :
$$S=\left\lbrace ~e^{i\frac{\pi}{3}},~e^{i\pi},~e^{i\frac{5\pi}{3}}~\right\rbrace$$
$s=e^{i\pi}=-1$ n'est pas une solution de $~(*)~$
On en déduit:
$$z_1=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
Soit:
$$\color{magenta}\boxed{z_1=\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{3}}{4}}$$
Et:
$$z_2=\bar{z}_1 $$ (car l'équation en $~z~$ est à coefficients réels )
Soit: $$\color{magenta}\boxed{z_2=\dfrac{1}{4}-i\dfrac{\sqrt{3}}{4}}$$ - On considère l'équation: $$z^4+10z^2+169=0$$ La méthode de complétion des carrés donne: $$(z^2+5)^2+144=0$$ Soit: $$(z^2+5)^2-(12i)^2=0$$ Ce qui implique: $$z^2=-5 \pm 12i$$ On remarque que: \begin{cases} -5-12i&=(2-3i)^2\\\\ -5+12i&=(2+3i)^2 \\ \end{cases} On en déduit les 4 racines: $$z_1=-2+3i\qquad z_2=2-3i\qquad z_3=-2-3i\qquad z_4=2+3i$$
- Soit l'équation: $$~~z^4+2z^2+4=0$$ cette équation est équivalente à: $$(z^2+1)^2-(\sqrt{3}i)^2=0$$ On obtient: \begin{cases} z^2&=-1-i\sqrt{3}=2\bar j=2j^2\\\\ z^2&=-1+i\sqrt{3}=2j=\dfrac{2}{j^2} \end{cases} On en déduit immédiatement les racines: $$z=\pm\sqrt{2}j\qquad\text{ou}\qquad z=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{j}=\pm \sqrt{2}j^2$$ On récapitule: $$z_1=-\sqrt{2}j\qquad z_2=\sqrt{2}j\qquad z_3=-\sqrt{2}j^2\qquad z_4=\sqrt{2}j^2$$