1. Soit $A(-2i)$ et $B(3-2i)$
    On a:
    • $a'=-2(\overline{-2i})+2i=-2i$
    • $b'=-2(\overline{3-2i})+2i=-6-2i$
    Soit: $$a'=-2i\qquad \text{et} \qquad b'=-6-2i$$
  2. Soit $~M(z)~$ un point appartenant Ă  la droite $~(\Delta)~~$
    Alors, il existe $x\in\mathbb{R}~$, tel que: $~~z=x-2i$
    Et donc: $$z'=-2\bar{z}+2i=-2(\overline{x-2i})+2i$$ Soit: $~~z'=-2x-2i~~$ et on a bien $~~z'\in(\Delta)$
  3. On a: $z'=-2\bar{z}+2i~~$
    Et donc: $$~~z'+2i = -2\bar{z}+ 4i =-2(\bar{z}-2i) = -2(\overline{z+2i})$$ En passant au modules et tenant compte du fait que le module d'un complexe et son conjugué sont égaux on obtient: $~~|z'+2i|=2|z+2i|$.
    Cette derniÚre égalité signifie:
    $$d(A,M(z'))=2d(A,M(z))$$ Ce qui se traduit géométriquement par:
    $$f(\mathcal{C}(A,r))\subset {\mathcal C}(A,2r)$$
  4. Soit $\theta$ un argument de $z+2i$.
    1. Il est clair que $~z+2i~$ représente l'affixe de $~\overrightarrow{AM}~$ et donc $~\theta~$ représente une mesure de l'angle $~(\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM})$
    2. On a: $$z'+2i=-2\bar{z}+4i=-2(\bar{z}-2i)$$ On en déduit: $$(z'+2i)(z+2i)=-2(\bar{z}-2i)(z+2i)=-2|z+2i|^2$$ On voit bien que: $(z'+2i)(z+2i)$ est un réel négatif ou nul.
    3. On a: $\arg((z'+2i)(z+2i))=\pi ~~ [2\pi]$
      Et donc: $~~arg(z'+2i)+\arg(z+2i)=\pi [2\pi]$
      On en déduit: $~~\arg(z'+2i)=\pi - \arg(z+2i)$
      Soit: $arg(z'+2i)=\pi - \theta$
    4. Les demi droites $~[AM)~$ et $~[AM')~$ sont symétriques par rapport à la droite verticale passant par $~A~$.
  5. La représentation géométrique de $M'(z')$ se déduit à partir de $~M(z)~$ comme suit:
    • On positionne $~A(-2i)~$ et $~M(z)~$
    • On trace la demi droite [AM') symĂ©trique de [AM) par rapport Ă  la vertical passant par $~A~$
    • On positionne $~M'~$ sur la demi droite $~[AM')~$ grĂące Ă  la relation, $~AM'=2AM~$ Question 3.) ci- dessus.