Les points fixes de la transformation $~f~$ sont les solutions de l'Ă©quation: $$\dfrac{3iz-7}{z-3i}=z$$ Ce qui donne: $$3iz-7=(z-3i)z=z^2-3iz$$ On obtient l'Ă©quation: $$z^2-6iz+7=0$$ OĂč encore: $$(z-3i)^2=-16$$ Donc on a deux points fixes: $$B(-i)\qquad \textit{et}\qquad C(7i)$$- Soit $~M(z)\in (\Sigma)~$ et $~M'(z')~$ son image par $~f~$
- $~\Sigma~$ est le cercle de diamĂštre $~BC~$
- son rayon: $~~r=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{|7i-(-i)|}{2}=4$
- Son centre est ,le milieu de $~BC~$ a pour affixe: $~~\dfrac{-i+7i}{2}=3i$.
Le centre du cercle est donc $~A(3i)$ - On a:
$$z=3i+4e^{i\theta}$$
Et donc:
\begin{align*}
z'&=\dfrac{3iz-7}{z-3i}\\
z'&=\dfrac{3i(3i+4e^{i\theta})-7}{(3i+4e^{i\theta})-3i}\\
z'&=\dfrac{12ie^{i\theta}-16}{4e^{i\theta}}\\
z'&=3i-4e^{-i\theta}
\end{align*}
Soit: $~~z'=3i+4e^{i(-\theta+\pi)}=3i+4e^{i\theta'}$
On voit bien que $~~z'\in \Sigma$ - On a déja vu que: $z'=3i-4e^{-i\theta}=-(-3i+4e^{-i\theta})=-(\overline{3i+4e^{i\theta}})$
Soit: $z'=-\bar z$ - Soit $~M(z)~$ un point du cercle de centre $~A(3i)~$ et de rayon $~r~$ et $~M'(z')~$ son image par la transformation $~f$.
On a: $~~z=3i+re^{i\theta}~~$
On calcule: \begin{align*} z'&=\dfrac{3i(3i+re^{i\theta})-7}{(3i+re^{i\theta})-3i}\\ z'&=\dfrac{3ire^{i\theta}-16}{re^{i\theta}}\\ z'&=3i-\dfrac{16}{r}e^{-i\theta}\\ z'&=3i+\dfrac{16}{r}e^{i(\pi-\theta)}\\ z'&=3i+\dfrac{16}{r}e^{i\theta'} \end{align*} Soit: $~~$
On en déduit: $$~~f(\mathcal C(A,r))=\mathcal C(A,\frac{16}{r})$$