1. L'ensemble des points $~M(z)~$ tels que $~~|z-2i|=4~$:
    est le cercle de centre $~A(2i)~$ et de rayon $~4~$

  2. Soit $A(2i)~$, $~B(-1+i)~$ et $~M(z)~$

    L'ensemble des points $~M(z)~$ tels que: $$~~|z-2i|=|z+1-i|$$ est la médiatrice du segment $~[AB]~$

    puisque: $$|z-2i|=MA=|z+1-i|=|z-(-1+i)|=MB$$
  3. On a: $$|(1+i)z-2i|=|1+i|~\left|z-\frac{2i}{1+i}\right|=\sqrt{2}~|z-(1+i)|$$ Donc: $$|(1+i)z-2i|=2\Longleftrightarrow \sqrt{2}~|z-(1+i)|=2$$ Ce qui équivaut à: $$|z-(1+i)|=\sqrt 2$$ L'ensemble recherché est le cercle de centre $~A(1+i)~$ et de rayon $~\sqrt{2}$

  4. On sait que le module d'un complexe est égal à celui de son conjugué.
    Par conséquent:
    $$~|(\bar{z}+1-i)|=|\overline{(\bar{z}+1-i)}|=|z+1+i|$$ D'autre part: $$~|3+iz|=|i(-3i+z)|=|z-3i|~$$ On en déduit: $$|3+iz|=|\bar{z}+1-i|\Longleftrightarrow |z-(-1-i)|=|z-3i|$$ L'ensemble des points $M(z)$ est donc la médiatrice du segment $[AB]~$: où $~A(3i)~$ et $~B(-1-i)~$

  5. On a: $$\dfrac{|z-3|}{|z-5|}=1\Longleftrightarrow |z-3|=|z-5|$$ L'ensemble des solutions est donc la médiatrice du segment $~[AB]~$ où $~A(3)~$ et $~B(5)~$.

  6. On a: $$\dfrac{|z-3|}{|z-5|}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ Ce qui equivaut à: $$2|z-3|^2=|z-5|^2$$ Et donc: $$~~2(z-3)(\bar{z}-3)=(z-5)(\bar{z} -5)$$ En développant: $$2(z\bar z-3(z+\bar z)+9)=z\bar{z}-5(z+\bar{z})+25$$ En simplifiant on obtient: $$z\bar{z}-(z+\bar{z})=7$$ En posant $~(~z=x+iy~)~$ on obtient: $$~~(x^2+y^2)-2x=7$$ Qu'on peut réécrire comme suit: $$~~(x-1)^2+y^2=8~~$$ C'est l'équation cartésienne du cercle de centre $~~C(1)~~$ et de rayon $~~r=2\sqrt 2$

  7. On sait que: $$\arg zz'=\arg z +\arg z'$$ Et donc l'équation:
    $$\arg (iz)=-\dfrac{\pi}{6}\Longleftrightarrow \arg i + \arg z=-\dfrac{\pi}{6}~\mod [2\pi]$$ $$\dfrac{\pi}{2}+\arg z=-\dfrac{\pi}{6}~\mod [2\pi]$$ $$\arg z =-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}\mod [2\pi]$$ D'un autre coté on a: $$\arg z=\arctan(\frac{y}{x})$$ Donc: $$\dfrac{y}{x}=\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ L'ensemble recherché des points $~M(z)~$ est la droite d'équation cartésienne: $$y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x$$
  8. L'équation: $$\arg(z+1+2iz)=\dfrac{\pi}{2}$$ est équivalente à: $$z+1+2iz=(2i+1)z+1=\rho e^{i\frac{\pi}{2}}=\rho i$$ Ceci signifie que: $(2i+1)z+1$ est purement imaginaire.
    Ce qui équivaut à: $$~~(2i+1)z+1+\overline{(2i+1)z+1}=0$$ Ou encore: $$(z+\bar z)+2i(z-\bar z)+2=0$$ En posant $~z=x+iy~$ on obtient l'équation: $$x-2y+1=0$$ C'est l'équation cartésienne d'une droite.

  9. Soit $~A(-1)~$, et $~B(3)$.
    Soit $M(z)$ vérifiant: $$\dfrac{z+1}{z-3}=\lambda\in\mathbb R~~$$ Cette équation est équivalente à: $$\overrightarrow{MA}=\lambda \overrightarrow{MB}$$ On en déduit que les trois point: A,B et M sont alignés.
    Réciproquement, si les points A,B, et M sont alignés (Avec $B\neq M$) alors, il existe $~\lambda~$ dans $~\mathbb R~$ tel que: $$\overrightarrow{\text{MA}}=\lambda\overrightarrow{\text{MB}}~$$ Et donc: $$\dfrac{MA}{MB}=\lambda\in\mathbb R$$ Ce qui équivaut à: $$\dfrac{z+1}{z-3}\in\mathbb R$$ L'ensemble recherché est donc la droite (AB)

  10. Si $~~\left(~\dfrac{z+1}{z-3}~\right)~~$ est imaginaire pur alors:

    En utilisant les même notations que l'exercice précédent on a:
    • $\overrightarrow{AM}~~$ a pour affixe $~~(z+1)$
    • $\overrightarrow{BM}~~$ a pour affixe $~~(z-3)$
    • $\overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{MB}~$ car $~\arg(z+1)=\arg (z-3)+\dfrac{\pi}{2}$
    On en déduit que $~M~$ appartient au cercle de diamètre le segment $~[AB]$.

    Autre méthode:

    $~AMB~$ est un triangle rectangle en $~M~$
    Le théorème de Pythagore donne: $$MA^2+MB^2=AB^2$$ Et donc: $$~~|z+1|^2+|z-3|^2=|3+1|^2$$ En posant: $z=x+iy$ on obtient: $$(x+1)^2+y^2+(x-3)^2+y^2=16$$ Ce qui implique: $$(x-1)^2+y^2=4$$ C'est le cercle de centre $~\Omega(1,0)~$ (centre de $~[AB]~$) et de rayon 2 ($~2=\frac{AB}{2}~$)