le complexe $~Z_n~$ est définie lorsque $~z^{2n}\neq -1$.
  1. $~z~$ est un complexe unité et donc: $$z=e^{i\theta}$$ Ce qui implique: \begin{align*} Z_n&=\dfrac{z^n}{1+z^{2n}}\\\\ Z_n&=\dfrac{e^{in\theta}}{1+e^{i2n\theta}}\\\\ Z_n&=\dfrac{e^{in\theta}}{e^{in\theta}~(e^{-n\theta}+e^{in\theta})}\\\\ Z_n&=\dfrac{1}{2~~\cos(n\theta)} \end{align*} Par la suite: $$Z_n\in \mathbb R$$
  2. $~z~$ est un complexe unité et donc: $~~\bar z= \dfrac{1}{z}~$
    Par la suite: \begin{align*} \overline{Z}_n&=\dfrac{\overline{(z^n)}}{1+\overline {(z^{2n})}}\\ \overline{Z_n}&=\dfrac{\dfrac{1}{z^n}}{1+\dfrac{1}{z^{2n}}}\\ \overline{Z_n}&=\dfrac{z^n}{1+z^{2n}} \end{align*} Par conséquent: $$\overline{ Z_n}=Z_n$$ Ce qui prouve encore une fois que $~Z_n~$ est un nombre réel.