1. On a: \begin{align*} z_1&=1+e^{ia}\\ z_1&=e^{i\frac{a}{2}}\left(e^{-i\frac{a}{2}} +e^{i\frac{a}{2}}\right)\\ z_1&=2\cos\left(\frac{a}{2}\right)e^{i\frac{a}{2}} \end{align*} Soit: $$z_1=2\cos\left(\frac{a}{2}\right)e^{i\frac{a}{2}}$$ (noter que: $~~\cos(\frac{a}{2})\geq 0~$)



  2. \begin{align*} z_2&=1-e^{ia}\\ z_2&=e^{i\frac{a}{2}}\left(e^{-i\frac{a}{2}}-e^{i\frac{a}{2}}\right)\\ z_2&=-2~i~\sin\left(\frac{a}{2}\right)~e^{i\frac{a}{2}}\\ z_2&=2\sin\left(\frac{a}{2}\right)e^{i\frac{3\pi}{2}}e^{i\frac{a}{2}} \end{align*} Soit: $$z_2=2\sin\left(\frac{a}{2}\right)e^{i(\frac{a}{2}+\frac{3\pi}{2})}$$

  3. On a: $$z_3=e^{ia}+e^{ib}=e^{ia}(1+e^{i(b-a)})$$ En utilisant ce qui précÚde:
    $$z_3=e^{ia}\left( 2\cos\left(\frac{b-a}{2}\right)~e^{i\left(\frac{b-a}{2}\right)}\right)$$
    Soit: $$z_3=2\cos\left(\frac{b-a}{2}\right)e^{i\left(\frac{a+b}{2}\right)}$$
    Il importe de noter que: $$\qquad \cos\left(\frac{b-a}{2}\right)\geq 0\quad $$ Car: $\qquad -\frac{\pi}{2}\leq\left(\frac{b-a}{2}\right)\leq \frac{\pi}{2}$



  4. \begin{align*} z_4&=\dfrac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}\\\\ &=\dfrac{2\cos(\frac{a}{2})e^{i\frac{a}{2}}}{2\cos(\frac{b}{2})e^{i\frac{b}{2}}}\\\\ &=\dfrac{\cos\left(\frac{a}{2}\right)}{\cos\left(\frac{b}{2}\right)}~e^{i\left(\frac{a-b}{2}\right)}\\ \end{align*} Soit: $$~~z_4=\left(\dfrac{\cos\left(\frac{a}{2}\right)}{\cos\left(\frac{b}{2}\right)}\right)~e^{i\left(\frac{a-b}{2}\right)}$$

  5. \begin{align*} z_5&=\dfrac{1-\cos a -i\sin a}{1+\cos a +i\sin a}\\ z_5&=\dfrac{1-e^{ia}}{1+e^{ia}}\\ z_5&=\dfrac{-2i\sin(\frac{a}{2})e^{i\frac{a}{2}}}{2\cos(\frac{a}{2})e^{i\frac{a}{2}}}\\ z_5&=-i\dfrac{\sin\left(\frac{a}{2}\right)}{\cos\left(\frac{a}{2}\right)}\\ \end{align*} Soit: $~~z_5=-i\tan\left(\frac{a}{2}\right)$