1. $~~u=\dfrac{1}{2}(\sqrt{6}-i\sqrt 2)=\dfrac{1}{\sqrt 2}(\sqrt 3-i)$
      Et donc: $$~~|u|=\dfrac{1}{\sqrt 2}|\sqrt 3-i|=\dfrac{\sqrt{3+1}}{\sqrt 2}$$ Soit: $$~~\boxed{~~|u|=\sqrt 2~~}$$ On a: $$~~\dfrac{u}{|u|}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{3}-i\right)=\dfrac{\sqrt 3}{2}-\dfrac{1}{2}i=e^{-i\frac{\pi}{6}}$$ Donc: $$~~\arg u=-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi\mod 2\pi$$ Soit: $$~~\boxed{~~\arg u=\dfrac{11\pi}{6}~~[2\pi]}$$
    2. $v=(1-i)=\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt 2}{2}-\dfrac{\sqrt 2}{2}i)=\sqrt 2 e^{-i\frac{\pi}{4}}$
      On en déduit: $$~~(|u|=\sqrt 2) \quad \text{et}\quad \arg u=-\dfrac{\pi}{4}=(-\dfrac{\pi}{4}+2\pi) \mod 2\pi$$ Soit: $$\boxed{~~|v|=\sqrt 2 \quad\text{et}\quad \arg v=\dfrac{7\pi}{4}~~}$$
  2. On en déduit le module et l'argument de $~w~$ comme suit:
    1. $~~|w|=\dfrac{|u|}{|v|}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2}$
      Soit: $~~|w|=1~~$
      Donc $~w~$ est un complexe unité
    2. $\arg w=\arg u -\arg v=\dfrac{11\pi}{6}-\dfrac{7\pi}{4}$
      Soit: $$~~\arg w=\dfrac{\pi}{12}$$
    3. <
  3. De ce qui précÚde on en déduit:$~~w=e^{i\frac{\pi}{12}}$

    Mettons $w$ sous forme algébrique:
    $$w=\dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(1+i)}{4}$$ Soit: $$~~w=\dfrac{(\sqrt{6}+\sqrt{2})+i(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}$$ En comparant la forme géométrique et la forme algébrique on obtient: $$\begin{cases}\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\\\ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\ \end{cases}$$