1. Soit à résoudre: $$~~iz+3(z-i)=0$$ En développant on obtient: $$~~(i+3)z=3i$$ Et donc: $$z=\dfrac{3i}{3+i}$$ Et pour mettre sous forme algébrique on multiplie par la partie conjuguée:
    $$z=\dfrac{3i(3-i)}{3^2+1}$$ Soit: $$z=\dfrac{3}{10}+\dfrac{9}{10}i$$
  2. Soit à résoudre : $$~~\dfrac{z+1}{z-i}=-2i~~$$ avec: $~~z\neq i$. Et donc: $$\dfrac{z+1}{z-i}-1=-2i-1$$ On obtient: $$\dfrac{1+i}{z-i}=-2i-1$$ Par la suite: \begin{align*} z-i&=-\dfrac{(1+i)}{1+2i}\\ z-i&=-\dfrac{(1+i)(1-2i)}{1^2+2^2}\\ z-i&=-\dfrac{3-i}{5} \end{align*} Soit: $$~~z=-\dfrac{3}{5}+\dfrac{6}{5}i$$ La solution obtenue est bien différente de $~i$

  3. Soit l'équation: $$2z+3i\bar{z}=2-i$$ En prenant les conjugués des deux membres de cette équation on obtient le systÚme d'équations: \begin{cases} 2z+3i\bar{z}&=2-i\quad (1)\\\\ -3i z+2\bar z &= 2+i\quad (2) \\ \end{cases} c'est un systÚme à deux équations et deux inconnues $~z~$ et $~\bar z~$
    En prenant la combinaison $~~2(1)-3i(2)~$ on obtient: $$2(2z)-3i(-3iz)=2(2-i)-3i(2+i)$$ Ce qui donne: $$~~(4-9)z=(4+3)-(2+6)i$$ Soit: $$~~z=-\dfrac{7}{5}+\dfrac{8}{5}i$$
  4. On a: $$~~z^2=z\bar z\Longleftrightarrow z(z-\bar z)=0\Longleftrightarrow z=0 ~~\text{ou}~~z=\bar z$$
    La deuxiÚme équation $~(z=\bar z)~$ signifie que $~z~$ est un nombre réel.
    L'ensemble des solution est donc: $$~~S=\mathbb{R}$$