1. Un entier impair est nécessairement dans l'une des classes modulo 8 suivantes: $$\quad\{1,3,5,7\} \mod 8$$ Or :
    $1^2=3^2=5^2=7^2=1\mod 8$
    Donc si $~~n~~$ est pair alors $~~n^2=1\mod 8$
  2. Soit $~n~$ un entier impair alors:
    • $n^{16}-1=(n^8-1)(n^8+1)$
    • $n^{16}-1=(n^4-1)(n^4+1)(n^8+1)$
    • $n^{16}-1=(n^2-1)(n^2+1)(n^4+1)(n^8+1)$
    Il est clair que:
    • $(n^2+1);(n^4+1);(n^8+1)$ sont pairs.
    • $(n^2-1)$ est un multiple de 8
    On en déduit que:
    $~n^{16}-1~$ est un multiple de $~2^6$.
  3. On a:
    $p\geq 19\Rightarrow p\land 17=1$
    D'autre part: $16320=2^6\times 3\times 5\times 17$
    Par conséquent:
    • $p^{16}=1 \mod 17\qquad$ (th. Fermat).
    • $p^{16}=1\mod 3\qquad$ car $\qquad p^{2}=1\mod 3$ (th. Fermat)
    • $p^{16}=1\mod 5\qquad$ car $\qquad p^4=1\mod 5$ (th. Fermat)
    • $p^{16}=1\mod 2^6\qquad$ (question précédente)

    Ce qui implique que:

    $(n^{16}-1)~~$ est divisible par:$~~2^6\times 3\times 5\times 17$

    Et donc:

    $(n^{16}-1)~~$ est divisible par $~~16320$