Soit $p\in\mathbb N^*~~$ et $~~n=(\underbrace{4~4~\cdots~4}_{p~\text{chiffres}}~\underbrace{8~8~\cdots~8}_{\small{(p-1)~\text{chiffres}}}9)~$ en décimal
$n=\underbrace{(4~4~\cdots~4)}_{p~\text{chiffres}}\times 10^p~+~\underbrace{(8~8~\cdots~8)}_{\small{(p-1)~\text{chiffres}}}\times 10 + 9$
Posons:
$a=\underbrace{(11\cdots1)}_{p ~\text{chiffre}}\quad$ et $\quad b=\underbrace{(11\cdots1)}_{(p-1) ~\text{chiffre}}$
Alors on a: $$a=(1+10+10^2+\cdots +10^{p-1})=\dfrac{10^p - 1}{9}\quad $$ et $$\quad b=\dfrac{10^{p-1} -1}{9}$$ D'autre part:
$n=4\times 10^pa+8\times 10b +9$
On obtient alors:
$$n=\dfrac{4\times 10^p(10^p-1)+8\times 10(10^{p-1}-1)}{9}+9$$ Soit en simplifiant:
$$n=\dfrac{4\times 10^{2p}+4\times 10^p+1}{9}$$ $$n=\left(\dfrac{2\times 10^p+1}{3}\right)^2$$ Ce qui prouve que $~n~$ est un carré parfait.
Remarque:
$2\times 10^p+1=2\underbrace{0~0~\cdots~0}_{(p-1) \text{chiffre}}1$
En effectuant la division par 3 comme au primaire on trouve: $$\dfrac{2\times 10^p+1}{3}=\underbrace{6~6\cdots~6}_{(p-1) \text{chiffre}}7$$ Et Donc: $$\left(\underbrace{4~4~\cdots~4}_{p~\text{chiffres}}~\underbrace{8~8~\cdots~8}_{\small{(p-1)~\text{chiffres}}}9\right)~= \left (\underbrace{6~6\cdots~6}_{(p-1) \text{chiffre}}7\right)^2$$