1. Soit $~~n\in\mathbb N^*$
    1. Dans $~~\mathbb Z/8\mathbb Z~~$ les nombres impairs appartiennent à l'une des classes suivantes: $~~\overline{1};~\overline{3};~\overline{5}~~\text{ou}~~ \overline{7}$
      D'autres part: $$\overline{1}^2=\overline{3}^2=\overline{5}^2=\overline{7}^2=\overline{1}$$ On en déduit que si $~n~$ est impair alors: $$~~n^2=1\mod 8$$
    2. Les nombres paires appartiennent aux classes: $~~\overline{0};~\overline{2};~\overline{4};~\overline{6}$
      Et on a: $$\quad\begin{cases} \overline{0}^2=\overline{4}^2=\overline{0}\\\\ \overline{2}^2=\overline{6}^2=\overline{4}\\ \end{cases}$$ Il en vient que si n est pair alors: $$n^2=0 ~~\text{ou}~~ 4 \mod 8$$

    1. (a,b,c) étant des entiers impairs alors: $$a^2+b^2+c^2=1+1+1=3 \mod 8\qquad (1) $$ Supposons que $a^2+b^2+c^2$ est un carré parfait.
      Alors puisque $(a^2+b^2+c^2)$ est impair, on doit avoir:<
      $$a^2+b^2+c^2=m^2=1\mod 8$$ Contradiction avec $(1)$
      Ce qui montre que $~~a^2+b^2+c^2~~$ n'est pas un carré parfait.
    2. On a: $\quad\begin{cases} (a+b+c)^2=1\mod 8\qquad\text{car:~~ $(a+b+c)$ ~~est impair }\\a^2+b^2+c^2=3\mod 8\\ \end{cases}$
      $\Rightarrow 2(ab+ac+bc)=(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=1-3\mod 8$
      Et Donc: $$2(ab+ac+bc)=6\mod 8\qquad (2)$$
    3. Supposons que $~~2(ab+ac+bc)~~$ est un carré parfait.
      puisque ce dernier nombre est pair, alors on doit avoir:
      $~~2(ab+ac+bc)=0,4\mod 8.\quad$ Contradiction avec $~(2)$
    4. On remarque tout d'abord que $~~(ab+ac+bc)~~$ est impair (somme de trois termes impairs)
      Si $(ab+ac+bc)$ était un carré parfait alors, on doit avoir:
      $(ab+ac+bc)=1\mod 8 \Rightarrow 2(ab+ac+bc)=2\mod 8\qquad$ contradiction avec (2)
      Par la suite:
      $(ab+ac+bc)~~$ n'est pas un carré parfait.