1. Soit à résoudre dans $~\mathbb Z^2~$ l'équation suivante: $$(x+1)^2=9+5y\qquad (E)$$
  2. En écrivant l'équation (E) modulo 5 on obtient: $$(x+1)^2=4=2^2\mod 5$$ Qu'on peut écrire: $$(x-1)(x+3)=(x-1)(x-2)=0\mod 5$$ Et Donc: $$(x=1\mod 5)\qquad\text{ ou }\qquad (x=2\mod 5)$$
  3. On distingue les cas:
    Cas 1: $~~(x=1\mod 5) $
    Dans ce cas on a:
    \begin{align*} x&=5k+1\\ \Longrightarrow(5k+2)^2&=5y+9\\ \Longrightarrow y&=5k^2+4k-1 \end{align*} Cas: $~~(x=2\mod 5)$
    Dans ce deuxème cas on a:
    $$(5k+3)^2=9+5y $$ Et donc: $$y=5k^2+6k$$ En résumé les solutions de E sont:
    $$(x,y)=\left\lbrace(5k+1,5k^2+4k-1)~;~(5k+2,5k^2+6k):~~k\in\Bbb Z\right\rbrace,~~$$
  • \begin{align*} (5k^2+4k-1)&=k(5k+1)+3k-1\\ 5(5k^2+4k-1)&=5k(5k+1)+3\times 5k-5\\ 5(5k^2+4k-1)&=5k(5k+1)+3(5k+1)-3 -5\\ \end{align*} Soit $$5(5k^2+4k-1)=(5k+1)(5k+3)-8$$ On a donc:
    $$[5(5k^2+4k-1)]\land (5k+1)=(5k+1)\land 8$$
    et puisque: $5\land (5k+1)=1$ alors $$(5k^2+4k-1)\land(5k+1)=(5k+1)\land 8$$ Or les propriétés de l'opérateur "$~\land~$" nous permettent d'écrire: $$(5k+1)\land 8=[(5k+1)-2\times 8]\land 8=[5(k-3)]\land 8$$ Et puisque $~~5\land 8=1$ alors: $$[5(k-3)]\land 8=(k-3)\land 8~~$$ Ce qui prouve alors que: $$(5k^2+4k-1)\land(5k+1)=(k-3)\land 8$$
  • Passons maintenant à la résolution du sytème: $$\begin{cases} \overline{121}_x= \overline{59}_y\\x=1\mod 5\\x\land y=8 \end{cases}$$ Etudions la première équation: $$\overline{121}_x= \overline{59}_y\Longrightarrow x^2+2x+1=5x+9$$ On retrouve donc l'équation $~(E)~$:\\ $$(x+1)^2=5x+9$$ En tenant de l'équation du système $~~(x=1\mod 5)$~~on trouve:
    $$y=5k^2+4k-1;\qquad x=5k+1;\qquad (k\in\mathbb Z)$$ Etudions la troisième équation du système: $$x\land y=8$$ D'après ce la question 2 ci dessus: $$x\land y=(k-3)\land 8=8$$ Ce qui implique: $$(k-3)=8m$$ Et donc: $$k=3+8m$$ En substituant: $$y=5(8m+3)^2+4(8m+3)-1;\qquad x=5(8m+3)+1$$ Et donc: $$y=320m^2+272m+56;\qquad x=40m+16$$ Vérification: Pour vérifier nos calculs on pourrait prendre:
    $m=0\Rightarrow (x,y)=(16,56)$
    Et on a bien:
    $(x+1)^2=(16+1)=17^2=289$
    $9+5y=9+5\times 56=289$