- On a: $$S=(2p-1)^2+(2p+1)^2+(2p+3)^2$$ En développant: $$S=12p^2+12p+11\qquad (1)$$ De plus on a: $$S=\overline{xxxx}$$ Et Donc: $$S=1111\times x=(1100+11)x=11x(100+1)$$ Et Donc: $$S=11x\times 101\qquad (2)$$ En comparant les égalités (1) et (2) on trouve: $$12p^2+12p+11=11x\times \overline{101}$$ Ce qui donne: $$12p(p+1)=11(x\times 101-1)$$
- On a: $~p(p+1)~$ est un multiple de 2 et donc $~12p(p+1)~$ est un multiple de 8.
Et Donc: $$11(101x-1)=0\mod 8$$ Par la suite: $$101x-1=0\mod 8\qquad (~\text{car:}\quad 11\land 8=1~) $$ Ce qui implique: $$5x=1\mod 8 \qquad \text{car:}\quad 101=5\mod 8$$ Et alors: $$x=5\mod 8$$ - Puisque $~~1\leq x\leq 9~~$ alors: $$\boxed{~x=5~}$$ Pour déterminer p on écrit: $$\Rightarrow 12p(p+1)=11(101\times 5-1)$$ $$p(p+1)=11\times 42=2\times 3\times 7\times 11=21\times 22$$ Ce qui montre que: $$\boxed{~p=21~}$$