- On considère les plans $\quad \mathcal P_1~~$ et $~~\mathcal P_2\quad $ d'équations cartésiennes:
$\mathcal P_1:~~x+2y-z+2=0$
$\mathcal P_2:~~~~3x-y+5z=0$
Si $(x,y,z)\in\mathcal{P}_1\cap \mathcal{P}_2~~$ alors: $$\begin{cases} x+2y-z+2=0\\\\ 3x-y+5z=0\end{cases}$$ On cherche à exprimer $x,y$ en fonction de $z$: $$\begin{cases} x+2y=z-2\\\\ 3x-y=-5z\end{cases}$$ On obtient: $$\begin{cases} 7x&=-9z-2\\ \\7y&=8z-6\end{cases}$$ Soit: $$(1)~~\begin{cases} x&=-\dfrac{1}{7}(9z+2)\\ \\y&=\dfrac{1}{7}(8z-6)\\\\z&=z\end{cases}$$ Qu'on peut écrire sous une forme plus parlante: $$\begin{pmatrix}x+\dfrac{2}{7}\\y+\dfrac{6}{7}\\z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}-\dfrac{9}{7}\\\dfrac{8}{7}\\1\end{pmatrix}$$ C'est l'équation paramétrée de la droite affine $\mathcal D$ passant par le point $~M(-\frac{2}{7},-\frac{6}{7},0)~$ et de vecteur directeur $~\vec{u}=(-\frac{9}{7},\frac{8}{7},1)$ - Pour qu'un point $P(x,y,z)$ dans cette droite ait des coordonnées entières, il faut et il suffit d'avoir les deux conditions réunies:
\begin{cases}
9z+2&=0\mod 7\\\\
8z-6&=0\mod 7\\
\end{cases}
Les deux conditions sont équivalentes à:
$$x=6\mod 7 \qquad \mbox{( prouvez-le )}$$
On a donc: $\qquad z=7m+6$
Substituons dans (1) on trouve: $$(1)~~\begin{cases} 7x&=-(63m+56)\\ \\7y&=56m+42\\\\z&=7m+6\end{cases}$$ Par la suite: $$~~~~\begin{cases} x&=-(9m+8)\\ \\y&=8m+6\\\\z&=7m+6\end{cases}$$
Conclusion:
L'ensemble des points à coordonnées entières qui appartiennent à la fois à $\mathcal P_1$ et $\mathcal P_2$ est le sous ensemble $\mathcal S$ de $\mathcal D$ défini par: $$S=\left\lbrace ~~M(-9m-8,8m+6,7m+6):\qquad m\in\Bbb Z~~\right\rbrace$$