1. Posons $d=a\land b$
    Donc il existe $~(a',b')\in\mathbb Z^2~~$ tels que: $$\begin{cases} a&=da' \\\\b&=db' \\\\a'\land b'&=1 \end{cases}$$ L'equation s'écrit alors:

    $$d+da'b'=da'+db'$$ $\Longrightarrow 1+a'b'-a'-b'=(a'-1)(b'-1)=0$
    $\Longrightarrow a'=1$~~ ou~~$b'=1\Longrightarrow a=d$~~ou~~$b=d$
    $\Longrightarrow (~a|b\quad$ ou $\quad b|a$)
    La réciproque est facile. en effet:
    Si $\quad a|b\quad $ alors $\quad a\land b=a\quad $ et $\quad a\lor b=b$
    Et donc:
    $a\land b + a\lor b=a+b \qquad$ C.Q.F.D
    En résumé:
    $$a\land b +a\lor b=a+b\Longleftrightarrow a|b ~~\mbox{ou}~~ b|a$$
  2. En gardant les mêmes notations : $$a^2+ab+b^2=d^2(a'^2+a'b'+b'^2)$$ Et: $$ab=d^2(a'b')$$ Ce qui implique: $$(a^2+ab+b^2)\land (ab)=d^2[(a'^2+a'b'+b'^2)\land (a'b')]$$ Et par la suite: $$(a^2+ab+b^2)\land (ab)=d^2=(a\land b)^2$$ Car: $\quad[(a'^2+a'b'+b'^2)\land (a'b')]=a'\land b'=1\qquad $ (Voir Exercice A28)