1. Soit à résoudre l'équation: $$x^2-y^2=5\qquad (1)$$ Posons: $a=|x| ~~\text{et}~~ b=|y|$
    Il est clair que a et b sont positifs ou nuls.
    En termes des nouvelles variables l'équation (1) s'écrit:

    $$a^2-b^2=5$$ $\Longleftrightarrow (a-b)(a+b)=5$
    Et puisque $(a-b)\leq (a+b)~~$ alors:
    $$\begin{cases}a-b=1\\a+b=5\end{cases}$$ $$\Rightarrow (a,b)=(3,2)$$ L'ensemble de solutions en $~(x,y)~$ est:

    $$ S=\{(3,2);(3,-2);(-3,2);(-3,-2)\} $$
  2. On considère l'équation:
    $$x^6+3x^3+1=y^4\quad (2)$$
    1. En posant $s=x^3$ on obtient:
      $$s^2+3s+1=y^4$$ En multipliant par 4: $$(4s^2+12s+4)=(2y^2)^2$$ En retravaillant encore notre equation on obtient: $$(2s+3)^2=(2y^2)^2+5$$ Et finalement en faisant $~~s=x^3$: $$(2x^3+3)^2-(2y^2)^2=5\qquad (3) $$
    2. En utilisant la question 1) on obtient:
      $|2x^3+3|=3 \qquad 2y^2=2$
      Cherchons les valeurs de x:
      $2x^3+3=-3\Longrightarrow x^3=-3\quad $ impossible!
      $2x^3+3=3\Longrightarrow x=0$
      Conclusion:
      L'ensemble de solutions de l'équation (2) est:
      $$S=\{(0,1),(0,-1)\}$$