- Pour montrer cette équivalence on va montrer les deux implications.
$\Rightarrow)$ $~~a\land b=1~~$.
Supposons qu'il existe $~p~$ premier qui divise $~ab~$ et $~(a+b)$.
Alors $p$ divise aussi $~~a(a+b)-ab=a^2~~$ et divise aussi $~~b(a+b)-ab=b^2$
Et l'on a donc: $$\begin{cases} p|a^2\\\\p|b^2\end{cases}$$ et puisque p est un nombre premier alors: $$\begin{cases} p|a\\\\p|b\\\\a\land b=1~~\text{(par hypothèse)}\end{cases}$$ Contradiction!
Donc: $~ab\land(a+b)=1~$
$\Leftarrow )~$ On a: $~(a+b)\land ab=1$
Soit $d\in\mathbb Z_+^*$ tel que $d|a$ et $d|b$
alors: $a=da'$ et $b=db'$ et donc $(a+b)=d(a'+b')~$ et $~ab=d^2(a'b')$
Ceci implique d divise à la fois $(a+b)$ et $ab$ qui sont premiers entre eux.
Et l'on a donc: $~d=1$
Et ceci montre que le seul diviseur commun positif de $~a~$ et $~b~$ est 1 $\Rightarrow a\land b=1$ - Soit $~(x,y)\in\mathbb Z^2~$ alors il existe un triplet $~~(a,b,d)\in\mathbb Z^3~~$ tels que:
$$x=da;\qquad y=db;\qquad a\land b=1;\qquad d=x\land y$$ Ce qui implique:
$~~(x+y)=d(a+b)$
$x\lor y=(da)\lor (db)=d(a\lor b)=dab$ (car a et b sont premiers entre eux)
Ce qui implique:
$(x+y)\land(x\lor y)=(d(a+b))\land (d(ab))=d((a+b)\land(ab))$
Or d'après la question précédente on:
$(a+b)\land (ab)=1\qquad \text{car}\qquad a\land b=1~)$
Finalement:
$(x+y)\land(x\lor y)=d=x\land y$ - On cherche à résoudre:
$$ \begin{cases}x+y=276\\ x\lor y=1440 \\x \lt y \end{cases}$$
En utilisant la question précédente on obtient:
$(x+y)\land(x\lor y)=x\land y$
$\Rightarrow 276\land 1440=x\land y$
En utilisant la décomposition en facteur premiers on obtient:
$(276=3\times 2^2\times 23)\qquad (1440=2^5\times 3^2\times 5)$
$\Rightarrow x\land y=12$
En simplifiant: $$\begin{cases} x'+y'=23\\\\x'y'=120\\\\ x'\land y'=1\\\\ x' \lt y' \end{cases}$$ Les deux premières équations de ce système montre que $~(x',y')~$
sont solutions de l'équation quadratique: $$s^2-23s+120=0~~$$ dont les solutions sont: $$(x',y')=(8,15)$$ Le système admet une unique solution: $$(x,y)=(12x',12y')=(96,180)$$