1. Considérons l'équation: $$~~2x=1\mod 3~~$$ En multipliant cette équation membre à membre par 2 on obtient: $$\left(~4x=2\mod 3~\right)~~$$ et puisque $~\left(~4=1\mod 2~\right)~$ alors on obtient la solution: $$\left(~x=2\mod 3~\right)$$
    2. Il suffit de remarquer que: $$\begin{cases} 5x=2x\mod 3 \\ 3y=0\mod 3 \\ 4=1\mod 3 \mod 3 \end{cases}$$ En substituant on obtient: $$2x=1\mod 3$$
    3. Si $~~x~~$ est solution de $E_1$ alors:
      $2x=1\mod 3\Longrightarrow x=2\mod 3\Longrightarrow x=2+3k:~~ (~k\in \mathbb Z~)$

      $3y=4-5x=-(15k+6)\Longrightarrow y=-(3k+1)$

      L'ensemble de solution est:
      $$S=\left\lbrace ~(~x~,~y~)=(~3k+2~,~-(5k+2):~~k\in\mathbb Z~)\right\rbrace$$
    • Soit à résoudre l'équation: $$~~(E_2)~~:8x-20=12$$ cette équation est solvable car le $~\mbox{pgcd(8,20)}=4~$ divise 12

      Il vient alors:
      $8x-20y=12\Longleftrightarrow 2x-5y=3$
      On remarque que: $(x,y)=(4,1)$ est une solution de $E_1$.

      Donc on peut écrire:
      $$\begin{cases} 2x-5y=3\\2\times 3 - 5\times 1=3 \end{cases}$$ En soustrayant membre à membre les deux équations: $$(2x-5y)-(2\times 4 - 5\times 1)=3-3=0$$ qu'on peut réécrire autrement: $$2(x-4)-5(y-1)=0\Rightarrow 2(x-4)=5(y-1)$$ On a: $~~2|5(y-1)\Rightarrow 2|(y-1)$ d'après Gauss car $2\land 5=1$
      De la même manière on montre: $5|(x-4)$
      $\Rightarrow \dfrac{x-4}{5}=\dfrac{y-1}{2}=k:~~k\in \mathbb Z$
      $\Rightarrow \begin{cases} x-4=5k\\y-1=2k\\ \end{cases}$ l'ensemble $~~S~~$ des solutions est: $$S=\left\lbrace~(~x,y~)=(~4+5k,1+2k~):~~k\in\mathbb Z~\right\rbrace$$
    • L'équation $~~(E_2):~~6x-15y=2017~~$ n'est pas solvable car le $~\mbox{pgcd}(6,15)=3~$ ne divise pas $2017$.
      En conséquence, l'ensemble des solution est: $~~S=\emptyset~~$