1. Soient $~~a,b,c,\alpha,\beta~~$ dans entiers relatifs. Si $~~a|b~~$ et $~~a|c~~$ alors ils existent deux entiers $~~m~~$ et $~~n~~$ tels que: $$\begin{cases} b=ma\\\\c=na \end{cases}$$ ceci implique: $\alpha b+\beta c=(\alpha m+\beta n)a~\Longrightarrow a|(\alpha b+\beta c)$ On en déduit que $~~a~~$ divise $~~(\alpha b+\beta c)$
  2. On peut traiter cette question deux manières différentes:
    • Première methode: en utilisant la question précédente.
      En effet en prenant: $$\alpha=x_2, \qquad, \beta=y_1,\qquad b=(x_1-y_1),\qquad c=(x_2-y_2)$$ de cette façon on en déduit que :
      a divise $~~x_2(x_1-y_1)+y_1(x_2-y_2)=(x_1x_2-y_1y_2)$
    • Deuxième méthode:
      $$\begin{cases} a|(x_1-y_1) \\a|(x_2 -y_2)\end{cases}\Rightarrow ~~ \begin{cases} (x_1-y_1)=ma \\(x_2 -y_2)=na \end{cases}$$ Ce qui donne : $$\begin{cases} x_1=y_1+ma\\x_2=y_2+na \end{cases} \quad(S_1)$$ En multipliant membre à membre les deux équations $~~(S_1)~~$ et en soustrayant. on obtient : $$(x_1x_2-y_1y_2)=(y_1n+y_2m+mna)a$$ ce qui implique encore une fois que: $$~~a~~ \text{divise}~~(x_1x_2-y_1y_2)~~$$