• Calcul de la somme: $\quad\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k} $
      soit $n$ dans $\mathbb N^*$. En utilisant la formule du binôme de Newton: $$(1+1)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k(1)^{n-k}(1)^k}$$ Par la suite, on a: $$\boxed{\quad\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k}=2^n\quad}$$
    • Calcul de la somme: $~~\sum\limits_{k=0}^n{(-1)^kC_n^k} $
      $0=(1-1)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k(1)^{n-k}(-1)^k}=\sum\limits_{k=0}^n{(-1)^kC_n^k}$ d'où il vient: $$\boxed{\sum\limits_{k=0}^n{(-1)^kC_n^k}=0}$$
    • Calcul de la somme: $\sum\limits_{k=1}^{n}{kC_n^k}$
      On va utiliser 2 méthodes:
      - utilisation de la dérivée:
      On pose : $\quad f(x)=(1+x)^n$ $\Rightarrow f'(x)=n(1+x)^{n-1}\Rightarrow f'(1)=n(1+1)^{n-1}$ $Soit: f'(1)=n2^{n-1}\qquad (1)$ D'autres part, en utilisant la formule du binôme de Newton, $f(x)$ s'écrit: $$f(x)=(1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n^kx^{k}}$$ Soit en dérivant: $f'(x)=(\sum\limits_{k=0}^n{C_n^kx^{k}})'\Rightarrow f'(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}{kC_n^kx^{k-1}}\qquad (2)$ En substituant à $~x~$ la valeur 1 on trouve dans l'égalité $~(2)~$ ci dessus : $f'(1)=\sum\limits_{k=1}^{n}{kC_n^k}$ En comparant les égalités $~(1)~$ et $~(2)~$ on tire: $$\boxed{\sum\limits_{k=1}^{n}{kC_n^k}=n2^{n-1}}$$.
      - Calcul direct
      $kC_n^k=k\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=k\dfrac{n(n-1)!}{k[(k-1)!][(n-1)-(k-1)]!}$ $kC_n^k=n\left(\dfrac{(n-1)!}{[(k-1)!][(n-1)-(k-1)]!}\right)$ $\Rightarrow kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n}{kC_n^k}=n\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n-1}^{k-1}}$
      En prenant: $~~m=n-1\qquad\text{et}\qquad p=k-1$: $\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n-1}^{k-1}}=\sum\limits_{p=0}^{m}{C_m^p}=2^m=2^{n-1}$ Soit enfin: $$\boxed{\sum\limits_{k=1}^nkC_n^k=n2^{n-1}}$$
    • Calcul de la somme: $\sum\limits_{k=1}^n{(-1)^k}kC_n^k$
      De la même manière, on pose: $f(x)=(1-x)^n=\sum\limits_{k=0}^n{C_n^k(-1)^kx^k}$ Soit en dérivant: $f'(x)=-n(1-x)^{n-1}=\sum\limits_{k=1}^n{(-1)^kkC_n^kx^{k-1}}$ Soit en prenant $x=1$: $\boxed{\sum\limits_{k=1}^n{(-1)^kkC_n^kx^{k-1}}=0}$