- On suppose que: $~P(A|\bar{B})=\frac{P(A)}{1-P(B)}$
Montrer alors que:
- $P(A\cap B)=0$
- $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$
- $P(A|B)=0$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Probabilités
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Soient $A,B$ deux évènements tels que: $~0\lt P(B)\lt 1$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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On suppose que $0 \lt P(B) \lt 1$ et que: \[P(A|\overline{B}) = \frac{P(A)}{1-P(B)}\]
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Montrons que $~~P(A \cap B) = 0$:
Par définition de la probabilité conditionnelle, on a :
\[ P(A|\overline{B}) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{P(A \cap \overline{B})}{1 - P(B)} \]En identifiant avec l'hypothèse de l'énoncé, on obtient :
\[ \frac{P(A \cap \overline{B})}{1 - P(B)} = \frac{P(A)}{1 - P(B)} \]Puisque $P(B) \lt 1$, on a $1 - P(B) \neq 0$:
\[ P(A \cap \overline{B}) = P(A) \]D'après la formule des probabilités totales, on sait que:
\[ P(A) = P(A \cap B) + P(A) \] \[ P(A \cap B) = 0 \]
\[P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})\] En substituant $P(A \cap \overline{B})$ par $P(A)$ dans cette égalité : -
Montrons que $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
La formule générale de la probabilité de la réunion est :
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]D'après le résultat de la question précédente, $P(A \cap B) = 0$. Il vient alors directement :
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] -
Montrons que $P(A|B) = 0$
Par définition de la probabilité conditionnelle :
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]Comme $~~P(A \cap B) = 0~~$ alors :
\[ P(A|B) = 0 \]
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