- Prouver que la suite $(S_n)$ converge. Considérer les deux suites $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$.
- Calculer $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n$. On transformera $S_n$ en remarquant que : $$\frac{1}{a^k + 1} = \int_0^1 x^{a^k}\,dx$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soient $a > 0$ et $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{a^k + 1}$, $n \in \mathbb{N}$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
-
Ătudions directement les sous-suites $ (S_{2n}) $ et $ (S_{2n+1}) $.
Leur différence tend vers 0 : \[ S_{2n+1} - S_{2n} = \frac{-1}{a(2n+1)+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \]
La sous-suite $ (S_{2n}) $ est décroissante : \[ S_{2n+2} - S_{2n} = \frac{1}{a(2n+2)+1} - \frac{1}{a(2n+1)+1} < 0 \]
La sous-suite $ (S_{2n+1}) $ est croissante : \[ S_{2n+3} - S_{2n+1} = \frac{-1}{a(2n+3)+1} + \frac{1}{a(2n+2)+1} > 0 \]
Les sous-suites $ (S_{2n}) $ et $ (S_{2n+1}) $ sont donc adjacentes. Elles convergent vers une limite commune, ce qui assure la convergence de la suite $ (S_n) $. - Par linéarité de l'intégrale : \[ S_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \int_0^1 x^{ak} \, dx = \int_0^1 \sum_{k=0}^{n} (-x^a)^k \, dx \] On reconnaßt une somme géométrique de raison $ -x^a $ : \[ S_n = \int_0^1 \frac{1 - (-x^a)^{n+1}}{1 + x^a} \, dx = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^a} \, dx - (-1)^{n+1} \int_0^1 \frac{x^{a(n+1)}}{1 + x^a} \, dx \] On majore la seconde intégrale pour montrer qu'elle tend vers 0 : \[ 0 \le \int_0^1 \frac{x^{a(n+1)}}{1 + x^a} \, dx \le \int_0^1 x^{a(n+1)} \, dx = \frac{1}{a(n+1)+1} \] Par le théorÚme des gendarmes, cette intégrale tend vers 0 quand $ n \to +\infty $. On en conclut : \[ \lim_{n \to +\infty} S_n = \int_0^1 \frac{1}{1 + x^a} \, dx \]