Montrer qu'il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N$, $|u_{n+1} - u_n| \leq \dfrac{1}{2}$, et en déduire que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite stationnaire.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite convergente, Ă valeurs dans $\mathbb{Z}$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
La suite $ (u_n) $ converge vers une limite $ \ell $. En appliquant la définition de la limite avec $ \varepsilon = \frac{1}{4} $ :
\[ \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, \quad |u_n - \ell| \le \frac{1}{4} \]
Par l'inégalité triangulaire, on obtient pour tout $ n \ge N $ : \[ |u_{n+1} - u_n| = |u_{n+1} - \ell + \ell - u_n| \le |u_{n+1} - \ell| + |\ell - u_n| \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \]
La suite $ (u_n) $ étant à valeurs dans $ \mathbb{Z} $, la différence $ u_{n+1} - u_n $ est nécessairement un entier.
Or, le seul entier $ k $ vérifiant l'inégalité $ |k| \le \frac{1}{2} $ est $ 0 $.
On en déduit que pour tout $ n \ge N $, $ u_{n+1} = u_n $. La suite $ (u_n) $ est donc bien stationnaire.
Par l'inégalité triangulaire, on obtient pour tout $ n \ge N $ : \[ |u_{n+1} - u_n| = |u_{n+1} - \ell + \ell - u_n| \le |u_{n+1} - \ell| + |\ell - u_n| \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \]
La suite $ (u_n) $ étant à valeurs dans $ \mathbb{Z} $, la différence $ u_{n+1} - u_n $ est nécessairement un entier.
Or, le seul entier $ k $ vérifiant l'inégalité $ |k| \le \frac{1}{2} $ est $ 0 $.
On en déduit que pour tout $ n \ge N $, $ u_{n+1} = u_n $. La suite $ (u_n) $ est donc bien stationnaire.