Prouver que la suite $(u_{2^n})_{n \in \mathbb{N}}$ converge. En déduire que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite croissante telle que :
$$\forall n \in \mathbb{N}^*, \quad u_{2n} - u_n \leq \frac{1}{n}$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Convergence de $ (u_{2^n}) $ :
Posons $ v_n = u_{2^n} $. On a $ v_{n+1} - v_n \le \frac{1}{2^n} $.
Par somme tĂ©lescopique, la suite $ (v_n) $ est majorĂ©e. Ătant croissante, elle converge vers une limite $ \ell $. -
Convergence de $ (u_n) $ :
Pour tout entier $ n \in \mathbb{N} $, on a $ n \le 2^n $.
La suite $ (u_n) $ étant croissante, on en déduit que $ u_n \le u_{2^n} = v_n $.
La suite $ (v_n) $ convergeant vers $ \ell $ en étant croissante, elle est majorée par $ \ell $. Par conséquent, $ u_n \le \ell $.
La suite $ (u_n) $ est croissante et majorée, elle converge donc.
Puisque $ (v_n) $ est une suite extraite de $ (u_n) $, elle converge vers la mĂȘme limite $ \ell $.