Solution

1. On étudie la monotonie des deux suites :
   \[ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0 \] La suite $ (u_n) $ est strictement croissante.
   \[ v_{n+1} - v_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n \cdot n!} = \frac{n(n+1) + n - (n+1)^2}{n(n+1)(n+1)!} = \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0 \] La suite $ (v_n) $ est strictement décroissante.
   De plus : \[ v_n - u_n = \frac{1}{n \cdot n!} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \] Les suites $ (u_n) $ et $ (v_n) $ sont donc adjacentes. Elles convergent vers une limite commune $ \ell $.

---

2. Les suites étant adjacentes, on a pour tout $ q \in \mathbb{N}^* $ (avec $ q \ge 2 $) : \[ u_q < \ell < v_q \]
   Supposons par l'absurde que $ \ell \in \mathbb{Q} $. Il existe $ p, q \in \mathbb{N}^* $ tels que $ \ell = \frac{p}{q} $. L'encadrement s'écrit alors : \[ u_q < \frac{p}{q} < u_q + \frac{1}{q \cdot q!} \]
   En multipliant par $ q! $, on obtient : \[ q! u_q < p(q-1)! < q! u_q + \frac{1}{q} \]
   Il est facile de voir que $ q! u_q $ est un entier. De même, $ p(q-1)! $ est un entier.
   
   L'inégalité stipule donc qu'il existe un entier $ p(q-1)! $ strictement compris entre l'entier $ q! u_q $ et ce même entier plus $ \frac{1}{q} \le 1 $.
   C'est absurde.
   On en déduit que $ \ell $ est irrationnel.
   
3. On applique la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction $ f : t \mapsto e^t $ sur l'intervalle $ [0, 1] $ à l'ordre $ n $ : \[ f(1) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} (1-0)^k + \int_0^1 \frac{(1-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t) \, dt \] Sachant que $ f^{(k)}(t) = e^t $ et $ f^{(k)}(0) = 1 $, cela s'écrit : \[ e = u_n + \int_0^1 \frac{(1-t)^n}{n!} e^t \, dt \] On majore ensuite le reste intégral (car $ e^t \le e $ sur $ [0, 1] $) : \[ 0 \le \int_0^1 \frac{(1-t)^n}{n!} e^t \, dt \le \frac{e}{n!} \int_0^1 (1-t)^n \, dt = \frac{e}{n!(n+1)} \] Par le théorème des gendarmes, cette intégrale tend vers $ 0 $ quand $ n \to +\infty $.
   Par passage à la limite, on obtient $ e = \lim_{n \to +\infty} u_n $.
   D'où $ \ell = e $.