Correction de l'exercice

1. Démonstration de l'inégalité :
   • On procède par récurrence sur l'entier $ n $.
   • Initialisation : Pour $ n = 0 $, l'inégalité s'écrit $ |u_1 - u_0| \le C^0 |u_1 - u_0| $, ce qui est vrai.
   • Hérédité : Supposons l'inégalité vraie pour un certain entier $ n \ge 0 $. Évaluons l'écart au rang $ n+1 $ en utilisant le fait que $ f $ est $ C $-contractante : \[ |u_{n+2} - u_{n+1}| = |f(u_{n+1}) - f(u_n)| \le C |u_{n+1} - u_n| \]
   • En utilisant l'hypothèse de récurrence pour majorer $ |u_{n+1} - u_n| $ : \[ |u_{n+2} - u_{n+1}| \le C \left( C^n |u_1 - u_0| \right) = C^{n+1} |u_1 - u_0| \]
   • La propriété est héréditaire et vraie au rang 0, elle est donc vérifiée pour tout $ n \in \mathbb{N} $.

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2. Convergence de la suite $ (u_n) $ :
   • On considère la série télescopique dont le terme général est l'accroissement de la suite : $ v_n = u_{n+1} - u_n $.
   • D'après la question précédente, on a pour tout $ n \in \mathbb{N} $ : \[ |v_n| \le |u_1 - u_0| C^n \]
   • Puisque la constante de contraction vérifie $ C \in [0, 1[ $, la série géométrique $ \sum C^n $ est convergente.
   • Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, la série $ \sum |v_n| $ converge.
   • La série $ \sum v_n $ est donc absolument convergente, ce qui implique qu'elle est convergente dans $ \mathbb{R} $.
   • Puisque la série des différences $ \sum (u_{n+1} - u_n) $ converge, on en déduit par le lien suite-série que la suite $ (u_n) $ converge.