Exercice SSN 38 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Équivalent du reste $ R_n $ :
- La fonction $ t \longmapsto \frac{1}{t^\alpha} $ est continue et décroissante sur $ [1, +\infty[ $ (car $ \alpha > 1 $).
- Pour tout entier $ k \ge 2 $, l'intégration sur un intervalle de longueur 1 donne l'encadrement classique : \[ \int_{k}^{k+1} \frac{dt}{t^\alpha} \le \frac{1}{k^\alpha} \le \int_{k-1}^{k} \frac{dt}{t^\alpha} \]
- En sommant ces inégalités pour $ k $ allant de $ n+1 $ jusqu'à $ N $ (avec $ N > n $), puis en passant à la limite quand $ N \to +\infty $, on justifie rigoureusement votre idée : \[ \int_{n+1}^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} \le R_n \le \int_{n}^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha} \]
- On calcule l'intégrale généralisée $ I_n $ : \[ \int_{n}^{+\infty} t^{-\alpha} \,dt = \left[ \frac{t^{-\alpha+1}}{-\alpha+1} \right]_n^{+\infty} = \frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}} \]
- L'encadrement de $ R_n $ devient donc : \[ \frac{1}{(\alpha-1)(n+1)^{\alpha-1}} \le R_n \le \frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}} \]
- Puisque $ (n+1)^{\alpha-1} \sim n^{\alpha-1} $ en $ +\infty $, les deux bornes sont équivalentes au même terme. D'après le théorème des gendarmes pour les équivalents, on conclut : \[ R_n \sim \frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}} \]

Nature de la série $ \sum R_n $ :
- La suite $ (R_n) $ est à termes strictement positifs. On peut utiliser les théorèmes d'équivalence.
- D'après la question précédente, on a : \[ R_n \sim \frac{1}{\alpha-1} \cdot \frac{1}{n^{\alpha-1}} \]
- À une constante multiplicative strictement positive près, on reconnaît le terme général d'une série de Riemann de paramètre $ \beta = \alpha - 1 $.
- Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, la série $ \sum R_n $ converge si et seulement si l'exposant est strictement supérieur à 1, c'est-à-dire $ \alpha - 1 > 1 $.
- Conclusion : La série $ \sum R_n $ converge si $ \alpha > 2 $ et diverge si $ 1 < \alpha \le 2 $.