Montrer qu'il existe une suite extraite de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tendant vers $+\infty$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle non majorée.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
La suite $(u_n)$ n'étant pas majorée, on peut construire une suite d'indices $(n_k)_{k \ge 1}$ strictement croissante de la maniÚre suivante :
La suite d'indices $(n_k)$ Ă©tant strictement croissante, $(u_{n_k})$ est bien une suite extraite de $(u_n)$.
Puisque pour tout $k \ge 1$, on a $u_{n_k} \ge k$, on en déduit par minoration que : \[ \lim_{k \to +\infty} u_{n_k} = +\infty \]
Remarque : L'extractrice est construite de sorte que la suite extraite $(u_{n_k})$ tende vers $+\infty$, sans pour autant ĂȘtre nĂ©cessairement croissante.
- Il existe un entier $n_1$ tel que $u_{n_1} \ge 1$.
- L'ensemble des termes jusqu'au rang $n_1$ étant fini, la suite n'est pas bornée au-delà . Il existe donc un indice $n_2 > n_1$ tel que $u_{n_2} \ge 2$.
- De proche en proche, ayant construit $n_{k-1}$, il existe un indice $n_k > n_{k-1}$ tel que : \[ u_{n_k} \ge k \]
La suite d'indices $(n_k)$ Ă©tant strictement croissante, $(u_{n_k})$ est bien une suite extraite de $(u_n)$.
Puisque pour tout $k \ge 1$, on a $u_{n_k} \ge k$, on en déduit par minoration que : \[ \lim_{k \to +\infty} u_{n_k} = +\infty \]
Remarque : L'extractrice est construite de sorte que la suite extraite $(u_{n_k})$ tende vers $+\infty$, sans pour autant ĂȘtre nĂ©cessairement croissante.