Prouver que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Suites et séries numériques
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle ou complexe telle que les suites $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{n^2})$ convergent.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Solution
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Notons $\ell_1$, $\ell_2$ et $\ell_3$ les limites respectives de $(u_{2n})$, $(u_{2n+1})$ et $(u_{n^2})$.
Considérons la suite extraite $(u_{(2n)^2})$. Elle est extraite à la fois de $(u_{2n})$ , et de $(u_{n^2})$.
Par unicité de la limite : \[ \ell_1 = \ell_3 \]
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Considérons la suite extraite $(u_{(2n+1)^2})$.
Elle est extraite Ă la fois de $(u_{2n+1})$ car l'indice $(2n+1)^2 $ est impair, et de $(u_{n^2})$. On en dĂ©duit que : \[ \ell_2 = \ell_3 \] Par unicitĂ© de la limite : \[ \ell_1 = \ell_2 = \ell_3 \] Les sous-suites des termes pairs $(u_{2n})$ et impairs $(u_{2n+1})$ convergent vers la mĂȘme limite. Par consĂ©quent, la suite $(u_n)$ converge vers cette limite commune.