On pose : $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n e^{-\lambda_n x}, \quad x \in \mathbb{R}$$
- Déterminer le domaine de définition de $f$.
- Prouver que $f$ est continue sur $]0, +\infty[$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
SĂ©ries de fonctions
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $(\lambda_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite croissante de réels strictement positifs telle que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \lambda_n = +\infty$.
On pose : $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n e^{-\lambda_n x}, \quad x \in \mathbb{R}$$
On pose : $$f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n e^{-\lambda_n x}, \quad x \in \mathbb{R}$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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- Soit $ x \in \mathbb{R} $. On étudie la série de terme général $ u_n(x) = (-1)^n e^{-\lambda_n x} $.
- Si $ x \le 0 $ : Pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ \lambda_n > 0 \implies -\lambda_n x \ge 0 $. Le terme général ne tend pas vers 0 car $ |u_n(x)| = e^{-\lambda_n x} \ge 1 $. La série diverge grossiÚrement.
- Si $ x > 0 $ : On pose $ v_n(x) = e^{-\lambda_n x} $.
- La suite $ (\lambda_n) $ étant croissante et positive, la suite $ (-\lambda_n x) $ est décroissante. Par composition avec la fonction exponentielle (qui est strictement croissante), la suite $ (v_n(x))_{n \in \mathbb{N}} $ est positive et décroissante.
- Puisque $ \lim_{n \to +\infty} \lambda_n = +\infty $ et $ x > 0 $, on a $ \lim_{n \to +\infty} v_n(x) = 0 $.
- D'aprÚs le critÚre spécial des séries alternées, la série $ \sum u_n(x) $ converge.
- Le domaine de définition de $ f $ est donc $ \mathcal{D}_f = ]0, +\infty[ $.
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- Pour tout $ n \in \mathbb{N} $, la fonction $ u_n : x \longmapsto (-1)^n e^{-\lambda_n x} $ est continue sur $ ]0, +\infty[ $.
- Soit $ a > 0 $. On Ă©tudie la convergence uniforme sur l'intervalle $ [a, +\infty[ $.
- D'aprÚs le critÚre spécial des séries alternées, le reste d'ordre $ n $, noté $ R_n(x) $, est majoré en valeur absolue par la valeur absolue du premier terme négligé : \[ \forall x \ge a, \quad |R_n(x)| \le v_{n+1}(x) = e^{-\lambda_{n+1} x} \]
- La fonction exponentielle de base $ e^{-1} < 1 $ est décroissante, on obtient donc une majoration indépendante de $ x $ sur cet intervalle : \[ \forall x \ge a, \quad |R_n(x)| \le e^{-\lambda_{n+1} a} \]
- En passant à la borne supérieure, on a $ \|R_n\|_{\infty, [a, +\infty[} \le e^{-\lambda_{n+1} a} $.
- Puisque $ \lim_{n \to +\infty} \lambda_{n+1} = +\infty $ et $ a > 0 $, on en déduit que $ \lim_{n \to +\infty} \|R_n\|_{\infty, [a, +\infty[} = 0 $.
- La série des restes converge uniformément vers la fonction nulle, la série de fonctions converge donc uniformément sur tout intervalle de la forme $ [a, +\infty[ \subset ]0, +\infty[ $.
- D'aprÚs le théorÚme de continuité des séries de fonctions (par convergence uniforme sur tout segment de $ ]0, +\infty[ $), la fonction somme $ f $ est continue sur $ ]0, +\infty[ $.