Exercice SERF 20 : Énoncé & Corrigé Détaillé

1. Soit $x \in ]-1, 1[$. Montrer que la série $\displaystyle\sum_{n \ge 1} \dfrac{x^n}{n}$ converge. On pose : $$S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}$$
2. Prouver, en utilisant le théorème de dérivation terme à terme, que $S$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-1, 1[$ et préciser $S'(x)$.
3. En déduire que $\forall x \in ]-1, 1[$, $S(x) = -\ln(1-x)$.

Soit $x \in ]-1, 1[$. On pose $f_x(\theta) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{x^n \cos(n\theta)}{n}$, $\theta \in \mathbb{R}$.

Montrer que $f_x$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
Justifier que $f_x$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et calculer $f_x'(\theta)$.
Déduire de ce qui précède que $\forall \theta \in \mathbb{R}$ : $$f_x(\theta) = -\frac{1}{2}\ln(1 + x^2 - 2x\cos\theta)$$
Déduire de ce qui précède la valeur de $\displaystyle\int_0^{\pi} \ln(1 + x^2 - 2x\cos\theta)\,d\theta$.

1. Pour $ x \in ]-1, 1[ $, le rayon de convergence $ R $ de la série entière $ \displaystyle\sum_{n \ge 1} \frac{x^n}{n} $ est calculé via la règle d'Alembert :
  $ \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n} \right| = \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1} |x| = |x| $
  Puisque $ |x| < 1 $, la série converge absolument. Le domaine de définition contient $ ]-1, 1[ $.
2. Une série entière est de classe $ \mathcal{C}^\infty $ sur son intervalle ouvert de convergence. Par le théorème de dérivation terme à terme : \[ S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n \frac{x^{n-1}}{n} = \sum_{n=1}^{+\infty} x^{n-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \frac{1}{1-x} \]
3. On sait que $ S(0) = 0 $. En intégrant la dérivée sur $ [0, x] $ : \[ S(x) = S(0) + \int_0^x \frac{1}{1-t} \,dt = 0 - \ln(1-x) \] D'où $ \forall x \in ]-1, 1[, S(x) = -\ln(1-x) $.

Soit $ u_n(\theta) = \frac{x^n \cos(n\theta)}{n} $.
On a la majoration $ |u_n(\theta)| \le \frac{|x|^n}{n} \le |x|^n $.
Comme $ |x| < 1 $, la série géométrique $ \sum |x|^n $ converge. La série de fonctions $ \sum u_n $ converge donc normalement (et uniformément) sur $ \mathbb{R} $. Les fonctions $ u_n $ étant continues, la somme $ f_x $ est définie et continue sur $ \mathbb{R} $.
Les fonctions $ u_n $ sont de classe $ \mathcal{C}^1 $ sur $ \mathbb{R} $ et $ u_n'(\theta) = -x^n \sin(n\theta) $.
$ |u_n'(\theta)| \le |x|^n $, donc la série des dérivées converge normalement sur $ \mathbb{R} $. Par le théorème de dérivation terme à terme, $ f_x $ est de classe $ \mathcal{C}^1 $ sur $ \mathbb{R} $.
\[ f_x'(\theta) = \sum_{n=1}^{+\infty} -x^n \sin(n\theta) = -\text{Im}\left( \sum_{n=1}^{+\infty} (xe^{i\theta})^n \right) \] \[ \sum_{n=1}^{+\infty} (xe^{i\theta})^n = \frac{xe^{i\theta}}{1 - xe^{i\theta}} = \frac{xe^{i\theta}(1 - xe^{-i\theta})}{|1 - xe^{i\theta}|^2} = \frac{x\cos\theta + ix\sin\theta - x^2}{1 + x^2 - 2x\cos\theta} \] Par identification de la partie imaginaire : \[ f_x'(\theta) = -\frac{x\sin\theta}{1 + x^2 - 2x\cos\theta} \]
On reconnaît la structure de la dérivée d'une fonction composée : \[ f_x'(\theta) = -\frac{1}{2} \frac{2x\sin\theta}{1 + x^2 - 2x\cos\theta} \] En intégrant par rapport à $ \theta $, il existe $ C \in \mathbb{R} $ tel que : \[ f_x(\theta) = -\frac{1}{2}\ln(1 + x^2 - 2x\cos\theta) + C \] Évaluation en $ \theta = 0 $ :
$ f_x(0) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} = S(x) = -\ln(1-x) $.
De plus, $ -\frac{1}{2}\ln(1 + x^2 - 2x) = -\frac{1}{2}\ln((1-x)^2) = -\ln(1-x) $.
On en déduit $ C = 0 $, soit : \[ f_x(\theta) = -\frac{1}{2}\ln(1 + x^2 - 2x\cos\theta) \]
D'après la question 4, $ \ln(1 + x^2 - 2x\cos\theta) = -2 f_x(\theta) $. \[ \int_0^\pi \ln(1 + x^2 - 2x\cos\theta) \,d\theta = -2 \int_0^\pi \left( \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n \cos(n\theta)}{n} \right) \,d\theta \] La convergence étant uniforme sur $ [0, \pi] $, l'interversion somme-intégrale est justifiée : \[ -2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n} \int_0^\pi \cos(n\theta) \,d\theta \] Pour $ n \ge 1 $, $ \int_0^\pi \cos(n\theta) \,d\theta = \left[ \frac{\sin(n\theta)}{n} \right]_0^\pi = 0 $.
En conclusion : \[ \int_0^\pi \ln(1 + x^2 - 2x\cos\theta) \,d\theta = 0 \]

Énoncé de l'exercice :

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