- Vérifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^+$.
- Prouver que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$.
- Prouver que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^+$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
SĂ©ries de fonctions
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
On note, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ :
$$f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\left(1 + \frac{x}{n^2}\right)$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Domaine de définition
- Posons $f_n(x) = \ln\left(1 + \frac{x}{n^2}\right)$ pour $x \in \mathbb{R}^+$ et $n \ge 1$.
- Pour tout $x \ge 0$, $1 + \frac{x}{n^2} \ge 1 > 0$, la fonction $f_n$ est donc bien définie sur $\mathbb{R}^+$.
- à $x \in \mathbb{R}^+$ fixé, on a l'équivalent lorsque $n \to +\infty$ : \[f_n(x) \sim \frac{x}{n^2}\]
- La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ est convergente. Par critÚre d'équivalence pour les séries à termes positifs, la série numérique $\sum f_n(x)$ converge.
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Continuité sur $\mathbb{R}^+$
- Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [0, a]$ et tout $n \ge 1$, par croissance de la fonction logarithme : \[0 \le f_n(x) \le \ln\left(1 + \frac{a}{n^2}\right) = f_n(a)\]
- La série numérique $\sum f_n(a)$ est convergente (d'aprÚs la premiÚre question). Ainsi, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur le segment $[0, a]$.
- Les fonctions $f_n$ Ă©tant continues sur $\mathbb{R}^+$, la convergence uniforme (induite par la convergence normale) sur tout segment de $\mathbb{R}^+$ garantit que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$.
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Classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^+$
- Pour tout $n \ge 1$, la fonction $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^+$ avec : \[f_n'(x) = \frac{\frac{1}{n^2}}{1 + \frac{x}{n^2}} = \frac{1}{n^2 + x}\]
- Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : \[|f_n'(x)| \le \frac{1}{n^2}\]
- La majoration est indépendante de $x$ et le terme majorant est le terme général d'une série de Riemann convergente. La série des dérivées $\sum f_n'$ converge donc normalement sur $\mathbb{R}^+$.