Exercice : Continuité d'une fonction définie par une série

1. Domaine de définition

   Soit $ u_n(x) = \frac{x^2}{e^{2nx} + e^{-3nx}} $.
   • Pour $ x = 0 $ : $ u_n(0) = 0 $, la série converge et $ f(0) = 0 $.
   • Pour $ x > 0 $ : $ u_n(x) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{x^2}{e^{2nx}} = x^2 (e^{-2x})^n $. Comme $ 0 < e^{-2x} < 1 $, la série géométrique converge.
   • Pour $ x < 0 $ : $ u_n(x) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{x^2}{e^{-3nx}} = x^2 (e^{3x})^n $. Comme $ 0 < e^{3x} < 1 $, la série géométrique converge.
   • L'application $ f $ est donc bien définie sur son domaine de définition $ \mathbb{R} $.

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2. Continuité sur $ ]0, +\infty[ $ et $ ]-\infty, 0[ $

   • Sur $ ]0, +\infty[ $ : Pour tout $ x > 0 $, $ 0 \leq u_n(x) \leq \frac{x^2}{e^{2nx}} = x^2 e^{-2nx} $.
     La fonction $ g_n(x) = x^2 e^{-2nx} $ admet un maximum global sur $ \mathbb{R}^+ $ en $ x = \frac{1}{n} $. Ainsi : \[ \forall x > 0, \quad u_n(x) \leq g_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{e^{-2}}{n^2} \] La série numérique $ \sum \frac{1}{n^2} $ converge, donc $ \sum u_n $ converge normalement sur $ ]0, +\infty[ $. Les fonctions $ u_n $ étant continues, $ f $ est continue sur $ ]0, +\infty[ $.
   • Sur $ ]-\infty, 0[ $ : Pour tout $ x < 0 $, $ 0 \leq u_n(x) \leq \frac{x^2}{e^{-3nx}} = x^2 e^{3nx} $.
     La fonction $ h_n(x) = x^2 e^{3nx} $ admet un maximum global sur $ \mathbb{R}^- $ en $ x = -\frac{2}{3n} $. Ainsi : \[ \forall x < 0, \quad u_n(x) \leq h_n\left(-\frac{2}{3n}\right) = \frac{4 e^{-2}}{9 n^2} \] La convergence normale de $ \sum u_n $ sur $ ]-\infty, 0[ $ s'en déduit de la même manière, assurant la continuité de $ f $ sur $ ]-\infty, 0[ $.

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3. Continuité en $ 0 $

   • En $ 0^+ $ : On isole le premier terme. Pour tout $ x > 0 $ : \[ 0 \leq f(x) = \frac{x^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x) \leq \frac{x^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} x^2 e^{-2nx} = \frac{x^2}{2} + x^2 \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} \] Or, au voisinage de $ 0^+ $, $ 1 - e^{-2x} \sim 2x $, donc $ x^2 \frac{e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} \sim \frac{x}{2} \xrightarrow[x \to 0^+]{} 0 $.
     Par le théorème des gendarmes, $ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0) $.
   • En $ 0^- $ : De manière analogue, pour tout $ x < 0 $ : \[ 0 \leq f(x) \leq \frac{x^2}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} x^2 e^{3nx} = \frac{x^2}{2} + x^2 \frac{e^{3x}}{1 - e^{3x}} \] Au voisinage de $ 0^- $, $ 1 - e^{3x} \sim -3x $, donc $ x^2 \frac{e^{3x}}{1 - e^{3x}} \sim \frac{x^2}{-3x} = -\frac{x}{3} \xrightarrow[x \to 0^-]{} 0 $.
     Par conséquent, $ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 = f(0) $.
   • Les limites à droite et à gauche en $ 0 $ existent et valent $ f(0) $, l'application $ f $ est donc continue en $ 0 $.