Pour ce montage en pont, la méthode la plus efficace est d'utiliser la formule des probabilités totales en conditionnant par l'état du switch central $S_3$.
On note :

• $S_i$ l'évènement : « le switch $i$ est fermé ».
• Par hypothèse : pour tout $i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $P(S_i) = p$.
• Ces évènements sont mutuellement indépendants.

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Soit $C$ l'évènement « le courant passe ».

Méthode 1: Etude selon l'état de $S_3$:

Étudions les deux configurations possibles selon l'état de $S_3$ :

• Cas 1 : $S_3$ est fermé (probabilité $p$)
  Le courant peut traverser le centre. Le circuit est alors équivalent au bloc parallèle ($S_1 \cup S_2$) monté en série avec le bloc parallèle ($S_4 \cup S_5$). $$ P(C \mid S_3) = P(S_1 \cup S_2) \times P(S_4 \cup S_5) $$ $$ P(C \mid S_3) = (2p - p^2)(2p - p^2) = 4p^2 - 4p^3 + p^4 $$


• Cas 2 : $S_3$ est ouvert (probabilité $1-p$)
  La branche centrale est bloquée. Le circuit est alors équivalent à deux branches distinctes en parallèle : la branche haute ($S_1 \cap S_4$) et la branche basse ($S_2 \cap S_5$). $$ P(C \mid \overline{S_3}) = P((S_1 \cap S_4) \cup (S_2 \cap S_5)) $$ $$ P(C \mid \overline{S_3}) = P(S_1 \cap S_4) + P(S_2 \cap S_5) - P(S_1S_4 \cap S_2S_5) $$ $$ P(C \mid \overline{S_3}) = p^2 + p^2 - p^4 = 2p^2 - p^4 $$

D'après la formule des probabilités totales :

$$ \begin{align*} P(C) &= P(C \mid S_3)P(S_3) + P(C \mid \overline{S_3})P(\overline{S_3}) \\ P(C) &= (4p^2 - 4p^3 + p^4)p + (2p^2 - p^4)(1 - p) \\ P(C) &= (4p^3 - 4p^4 + p^5) + (2p^2 - 2p^3 - p^4 + p^5) \\ P(C) &= 2p^5 - 5p^4 + 2p^3 + 2p^2 \end{align*} $$

Méthode 2 : Etude selon la sortie ($S_4$ et $S_5$):

On peut appliquer la formule des probabilités totales en conditionnant par l'état des deux interrupteurs de sortie, $S_4$ et $S_5$. Le cas où les deux sont ouverts ($\overline{S_4} \cap \overline{S_5}$) bloque tout le circuit, sa probabilité conditionnelle est donc nulle.

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La probabilité recherchée est donnée par :

\[ P(C) = P(C \mid S_4 \overline{S_5})P(S_4 \overline{S_5}) + P(C \mid \overline{S_4} S_5)P(\overline{S_4} S_5) + P(C \mid S_4 S_5)P(S_4 S_5) \]

• Cas 1 : $S_4$ fermé, $S_5$ ouvert (probabilité $p(1-p)$)
  Le courant doit impérativement sortir par le haut. Il doit donc passer par $S_1$, OU passer par $S_2$ puis traverser $S_3$. \[ P(C \mid S_4 \overline{S_5}) = P(S_1 \cup (S_2 \cap S_3)) = p + p^2 - p^3 \]


• Cas 2 : $S_4$ ouvert, $S_5$ fermé (probabilité $p(1-p)$)
  Par symétrie, le courant doit impérativement sortir par le bas. Il doit passer par $S_2$, OU par $S_1$ puis traverser $S_3$. \[ P(C \mid \overline{S_4} S_5) = P(S_2 \cup (S_1 \cap S_3)) = p + p^2 - p^3 \]


• Cas 3 : $S_4$ et $S_5$ fermés (probabilité $p^2$)
  Les deux sorties sont ouvertes. Il suffit que le courant franchisse la première partie du circuit ($S_1$ OU $S_2$) pour pouvoir sortir. L'état de $S_3$ n'a plus d'importance. \[ P(C \mid S_4 S_5) = P(S_1 \cup S_2) = 2p - p^2 \]

On remplace dans la formule initiale :

\begin{align*} P(C) &= (p + p^2 - p^3)[p(1-p)] + (p + p^2 - p^3)[p(1-p)] + (2p - p^2)[p^2] \\ P(C) &= 2p(1-p)(p + p^2 - p^3) + p^2(2p - p^2) \\ P(C) &= 2(p - p^2)(p + p^2 - p^3) + 2p^3 - p^4 \\ P(C) &= 2(p^2 + p^3 - p^4 - p^3 - p^4 + p^5) + 2p^3 - p^4 \\ P(C) &= 2(p^2 - 2p^4 + p^5) + 2p^3 - p^4 \\ P(C) &= 2p^2 - 4p^4 + 2p^5 + 2p^3 - p^4 \\ P(C) &= 2p^5 - 5p^4 + 2p^3 + 2p^2 \end{align*}