Ce problème se résout de manière très élégante en combinant les probabilités avec l'arithmétique modulaire (congruences et Petit Théorème de Fermat). Cette approche permet de réduire considérablement l'univers des possibles.

1. Simplification modulo 5 et Petit Théorème de Fermat

   On cherche la probabilité que $7^m + 7^n$ soit divisible par $5$. Puisque $7 \equiv 2 \pmod 5$, on a :

   \[ 7^m + 7^n \equiv 2^m + 2^n \pmod 5 \]

   De plus, $\text{pgcd}(2,5)=1$ et $5$ est un nombre premier. Le Petit Théorème de Fermat garantit que $2^4 \equiv 1 \pmod 5$. La suite des puissances de $2$ modulo $5$ est donc périodique de période $4$.

   Il suffit par conséquent de raisonner sur les restes de la division euclidienne de $m$ et $n$ par $4$, c'est-à-dire de travailler dans l'ensemble des classes d'équivalence modulo $4$ : $\{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\}$.




2. Réduction de l'univers $\Omega$

   Les entiers $m$ et $n$ sont choisis au hasard entre $1$ et $100$. Puisque $100$ est un multiple de $4$ ($100 = 25 \times 4$), chaque classe d'équivalence modulo $4$ contient exactement $25$ éléments. Le tirage est donc parfaitement équiréparti.

   On peut définir un nouvel univers réduit $\Omega'$ constitué uniquement des couples de classes d'équivalence :

   \[ \Omega' = \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\} \times \{\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}\} \]

   Ce nouvel univers contient $4 \times 4 = 16$ issues possibles. Grâce à l'équirépartition, ces $16$ issues sont strictement équiprobables. La probabilité de chaque issue élémentaire de $\Omega'$ est donc de $\frac{1}{16}$.




3. Identification des cas favorables

   Évaluons les valeurs de $2^r \pmod 5$ pour les $4$ classes :

   • Pour $\bar{0} \implies 2^0 = 1$
   • Pour $\bar{1} \implies 2^1 = 2$
   • Pour $\bar{2} \implies 2^2 = 4$
   • Pour $\bar{3} \implies 2^3 = 8 \equiv 3 \pmod 5$

   Pour que la somme $2^m + 2^n$ soit congrue à $0$ modulo $5$, les seules associations de classes possibles sont celles dont la somme des restes fait $5$ (c'est-à-dire $1+4$ ou $2+3$).

   L'ensemble des cas favorables est constitué des $4$ couples de classes suivants :

   \[ \{(\bar{0}, \bar{2}), (\bar{2}, \bar{0}), (\bar{1}, \bar{3}), (\bar{3}, \bar{1})\} \]



4. Calcul final de la probabilité

   Nous avons exactement $4$ cas favorables parmi les $16$ cas possibles de notre univers réduit équiprobable. La probabilité $P$ cherchée est donc :

   \[ P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]