Correction de l'exercice

Modélisons la situation à l'aide des évènements suivants :

• $A$ : « La personne vit jusqu'à $80$ ans ». L'énoncé nous donne $P(A) = 0,75$.
• $B$ : « La personne vit jusqu'à $90$ ans ». L'énoncé nous donne $P(B) = 0,63$.

1. Analyse de l'intersection des évènements

   On cherche à calculer la probabilité conditionnelle qu'une personne atteigne $90$ ans sachant qu'elle a déjà atteint $80$ ans. Cette probabilité se note $P(B|A)$ (ou $P_A(B)$).

   Par définition des probabilités conditionnelles :

   \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \]

   Or, pour vivre jusqu'à $90$ ans, il faut logiquement et obligatoirement avoir vécu jusqu'à $80$ ans. L'évènement $B$ est donc inclus dans l'évènement $A$ ($B \subset A$).

   Par conséquent, l'intersection de ces deux évènements (qui représente le fait de vivre jusqu'à $80$ ans et jusqu'à $90$ ans) correspond tout simplement à l'évènement $B$ :

   \[ A \cap B = B \]



2. Calcul de la probabilité conditionnelle

   En remplaçant $P(A \cap B)$ par $P(B)$ dans notre formule, on obtient une relation très simple :

   \[ P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)} \]

   Il ne reste plus qu'à procéder à l'application numérique :

   \[ P(B|A) = \frac{0,63}{0,75} \]

   Pour simplifier le calcul, on multiplie le numérateur et le dénominateur par $100$, puis on simplifie la fraction :

   \[ P(B|A) = \frac{63}{75} = \frac{21 \times 3}{25 \times 3} = \frac{21}{25} \] \[ P(B|A) = 0,84 \]

   Un individu de $80$ ans a donc une probabilité de $0,84$ (soit $84\%$) d'atteindre l'âge de $90$ ans dans cette région.