Exercice P18 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Soit $(n,p)$ deux entiers naturels tels que : $p \leq n$.

On désigne par :

$E=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$, un ensemble contenant $n$ nombres réels, deux à deux distincts fixés.
$E^p=E\times E\times \cdots\times E$
$E_p$ : Ensemble des parties de $E$ à $p$ éléments.
$S_p=\{(c_1,c_2,\cdots,c_p)\in E^p : c_1 < c_2 < \cdots < c_p\}$, l'ensemble des suites croissantes à $p$ éléments de $E$.

Calculer le cardinal de $E_p$.
Soit : \begin{align*} f: S_p &\longrightarrow E_p \\ (c_1,c_2,\cdots,c_p) &\longmapsto \{c_1,c_2,\cdots,c_p\} \end{align*} Montrer que $f$ définit une bijection de $S_p$ vers $E_p$.
En déduire le cardinal de $S_p$.
En déduire le nombre d'applications strictement croissantes de l'ensemble $\{1, 2, \dots, p\}$ vers l'ensemble $E$.

Cardinal de $E_p$

$E_p$ est l'ensemble des parties à $p$ éléments choisis parmi les $n$ éléments de $E$.
\[ \text{Card}(E_p) = C_n^p \]

Bijectivité de la fonction $f$
\begin{align*} f : &S_p \longrightarrow E_p\\ &(c_1,c_2,\cdots,c_p) \longmapsto \{c_1,c_2,\cdots,c_p\} \end{align*}
- Surjectivité (existence) : Toute partie de $p$ réels peut être ordonnée du plus petit au plus grand pour former un $p$-uplet strictement croissant. Chaque élément de $E_p$ admet donc au moins un antécédent dans $S_p$.
- Injectivité (unicité) : Il n'existe qu'une seule façon de trier un ensemble fini de réels dans l'ordre croissant. Deux suites strictement croissantes ayant le même ensemble de valeurs sont donc identiques terme à terme. Chaque élément de $E_p$ admet au plus un antécédent.
$f$ est à la fois surjective et injective, c'est donc une bijection.

Cardinal de $S_p$

Puisque $f$ est une bijection, les ensembles de départ et d'arrivée ont le même cardinal :
\[ \text{Card}(S_p) = \text{Card}(E_p) = C_n^p \]