Exercice N51 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Soit à résoudre: \begin{cases} u+v+w&=a\quad (1)\\ u+jv+j^2w&=b\quad (2)\\ u+j^2v+jw&=c\quad (3) \end{cases} On sait que: $$1+j+j^2=0$$ En sommant membre à membre les trois équations du système: $$3u+v(1+j+j^2)+w(1+j^2+j)=a+b+c$$ Soit: $$~~u=\dfrac{a+b+c}{3}$$ En sommant: $$(1)+j^2(2)+j(3)$$ On trouve: $$u(1+j^2+j)+3v+w(1+j^2+j)=a+j^2b+jc$$ Soit: $$v=\dfrac{a+j^2b+jc}{3}$$ De même en sommant: $$(1)+j(2)+j^2(3)$$ On trouve: $$u(1+j+j^2)+v(1+j^2+j)+3w=a+jb+j^2c$$ Soit: $$w=\dfrac{a+jb+j^2c}{3}$$ En résumé on trouve: \begin{cases} u=\dfrac{a+b+c}{3}\\ v=\dfrac{a+j^2b+jc}{3}\\ w=\dfrac{a+jb+j^2c}{3} \end{cases}
Si $u,v \text{ et } w$ sont des nombres réels alors, il en est de même pour: $~~a=(u+v+w)$ D'autre part: d'après l'équation (2) on a: $$b=u+jv+j^2w$$ Soit en prenant le conjugué: $$\bar{b}=u+\bar{j}v+\overline{j^2}w$$ Or: $~~\bar{j}=j^2~~$ et $~~\bar{j^2}=j~~$ et donc: $$\bar{b}=u+j^2v+jw=c$$ Ce qui implique: $$\bar{b}=c$$ Une condition nécessaire pour que les solutions du systèmes soient des réels est que $~a~$ soit réel et que les nombres complexes $~b~$ et $~c~$ soient conjugués.