Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Montrer que si trois nombres $~z_1,z_2,z_3~$ dans $~~\mathbb{C}~~$ sont alignés si et seulement si il existe trois nombres réels $~(\alpha,\beta,\gamma)~$ non tous nuls tels que:
$$\begin{cases} \alpha z_1+\beta z_2 +\gamma z_3=0\\\alpha+\beta+\gamma=0 \\
\end{cases}$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Condition nécessaire:
Soient $z_1,z_2,z_3$ trois points alignés:
Alors il existe $~~\lambda\in\mathbb{R}~$ tel que: $$(z_3-z_1)=\lambda(z_2-z_1)$$ Soit: $$(\lambda-1)z_1 + (-\lambda)z_2+z_3=0$$ On prend: $$~~\alpha=(\lambda-1)\qquad \beta=-\lambda \qquad \gamma=1$$ - Condition suffisante:
On a: $$\begin{cases} \alpha z_1 +\beta z_2 + \gamma z_3=0\\\alpha+\beta+\gamma=0\quad (\gamma\neq 0) \\ \end{cases}$$ La deuxiÚme équation donne: $$\alpha=-(\beta + \gamma)$$ En Substituant cette équation dans la premiÚre: $$-(\beta+\gamma)z_1+\beta z_2 +\gamma z_3 =0$$ Ce donne: $$(z_3-z_1)=-\dfrac{\beta}{\gamma}(z_2-z_1)$$ Ce qui prouve que $~~z_1,z_2,z_3~~$ sont alignés. - Conclusion:
On vient de démontrer les 2 conditions (nécessaire et suffisante) sont vraies.
D'oĂč l'Ă©quivalence.