- Déterminer l'ensemble $E_1$ des points $M(z)~$ tels $~~f(z)\in\mathbb R$
- Déterminer l'ensemble $E_2~~$ des poins $~~M(z)~~$ tels que $f(z)=1$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
On considère $f$ l'application définie sur $\mathbb{C}-\{i\}$ :
$$f(z)=\frac{z-i}{iz-1}$$
Soient $~M,~A,~B~$ les points d'affixes respectifs $~z,~i,~-i$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- $f(z)~~$ est un réel s'il existe $~~\alpha\in \mathbb{R}$ tel que:
$$\dfrac{z-i}{iz-1}=\alpha$$
Et donc: $$\dfrac{z-i}{i(z+i)}=\alpha$$
Par conséquent:
$$\dfrac{z-i}{z+i}=i\alpha\qquad (1) $$ est un imaginaire pur.
D'après le cours, on en déduit que $~~z~~$ appartient au cercle de diamètre le segment $[AB]~~$ où $~~A(-i)~~$ et $~~B(i)$
("On pourrait remarquer que l'égalité (1) est équivalente à: $$\widehat{(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BM})}=\dfrac{\pi}{2}$$ Ce qui veut dire que le point $M(z)$ 'voit' le segment [AB] à travers un angle droit et donc $M$ appartient au cercle de diamètre $AB$")
Et on a:
- Le diamètre du cercle: $$D=AB=|i-(-i)|=2$$
- Son rayon est: $$R=1$$.
- Le centre du cercle est $~~O~~$
Conclusion:
L'ensemble des points pour lesquels $~~f(z)~~$ est un réel, est, le cercle $~~\mathcal{C}(O,1)$ - Nous avons: $$f(z)=1\Longleftrightarrow \dfrac{z-i}{iz-1}=1$$ Et donc: $$z-i=iz-1$$ Ce qui équivaut à: $$(1-i)z=-1+i$$ Soit: $$z=-1$$