Exercice N43 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Bac France-Guadeloupe 1998

On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$ défini par : \[ P\left( z\right) =z^{4}+2\sqrt{3}z^{3}+8z^{2}+2\sqrt{3}z+7 \]

1. Calculer $P\left( i\right) $ et $P\left( -i\right) .$
2. Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ du second degré, que l'on déterminera, tel que : \[ \text{pour tout }z\in\mathbb{C},\text{ }P\left( z\right) =\left( z^{2}+1\right) Q\left( z\right) \]
Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation $P\left( z\right) =0.$

Partie B
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ (unité graphique $2$ cm).

Placer dans ce repère les points $A,$ $B,$ $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_{A}=i$, $z_{B}=-i,$ $z_{C}=-\sqrt{3}+2i$ et $z_{D}=-\sqrt{3}-2i$.
Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diamètre $\left[ CD\right] .$
Montrer qu'il existe une rotation de centre $O$ qui transforme $C$ en $D.$ Calculer une valeur entière approchée à un degré près d'une mesure de l'angle de cette rotation.
Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique,le rapport : \[ \frac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}% \] Interpréter géométriquement le module et l'argument de ce rapport.

Bac France-Guadeloupe 1998:

Partie A:

1. On considère le polynôme défini par: $$P(z)=z^4+2\sqrt{3}z^3+8z^2+2\sqrt{3}z+7$$ D'une part: $$P(i)=1-2\sqrt{3}i-8+2\sqrt{3}i+7$$ Soit: $$P(i)=0$$ D'autre part: $$p(-i)=1+2\sqrt{3}i-8-2\sqrt{3}i+7=0$$ Soit: $P(-i)=0$
2. Puisque i et -i sont deux racines distinctes de $~~P(z)~~$ alors $~~P(z)~~$ est divisible par: $$(z-i)(z+i)=z^2+1$$ Pour déterminer Q(z) on pourrait effectuer une division euclidienne de $~~P(z)~~$ par $~~(z^2+1)~~$ où essayer une factorisation.
  On va essayer la dernière méthode (la factorisation): \begin{align*} P(z)&=z^4+2\sqrt{3}z^3+8z^2+2\sqrt{3}z+7\\ P(z)&=(z^4+z^2)+2\sqrt{3}(z^3+z)+(7z^2+7)\\ P(z)&=z^2(z^2+1)+2\sqrt{3}z(z^2+1)+7(z^2+1)\\ P(z)&=(z^2+1)(z^2+2\sqrt{3}z+7) \end{align*} Par la suite: $$Q(z)=z^2+2\sqrt{3}z+7$$
On a: $$P(z)=0\Longleftrightarrow (~z^2+1=0~) \qquad \text{ ou } \qquad (~Q(z)=0~).$$ Cherchons les racines de $~~Q(z)$. \begin{align*} z^2+2\sqrt{3}z+7&=0\\ (z+\sqrt{3})^2+4&=0\\ (z+\sqrt{3}-2i)(z+\sqrt{3}+2i)&=0 \end{align*} Par conséquent: \begin{cases} z&=-\sqrt{3}+2i\\ &\boxed{\text{ou}} \\z&=-\sqrt{3}-2i \end{cases} L'ensemble S des racines de $~P(z)~$ est: $$~~S=\lbrace ~i~,~-i~,~-\sqrt{3}+2i~,~-\sqrt{3}-2i~\rbrace$$

Partie B:

Le centre du cercle de diamètre [CD] a pour affixe: $$z_0=\dfrac{z_C+z_D}{2}=-\sqrt{3}$$ $|z_A-z_0|=|i+\sqrt{3}|=2$
$|z_B-z_0|=|-i+\sqrt{3}|=2$
$|z_C-z_0|=|(-\sqrt{3}+2i)+\sqrt{3}|=|2i|=2$
$|z_D-z_0|=|(-\sqrt{3}-2i)+\sqrt{3}|=|-2i|=2$

On en déduit donc les 4 $~~(A,B,C,D)~~$ appartiennent au cercle ayant pour centre le point d'affixe $(-\sqrt 3~)$ et de rayon 2

Représentation graphique
On a: $$~~|z_c -0|=|z_D-0|=\sqrt{7}~~$$ Alors, il existe une rotation de centre $~~O(0)~~$ qui transforme $C$ en $D$.
L'angle de cette rotation est donnée par l'argument de $~~Z~~$ tel que: \begin{align*} Z&=\dfrac{z_D-0}{z_C-0}\\ Z&=\dfrac{-\sqrt{3}-2i}{-\sqrt{3}+2i}\\ Z&=\dfrac{3-4+4\sqrt{3}i}{7} \end{align*} Soit: $$Z=-\dfrac{1}{7}+\dfrac{4\sqrt{3}}{7}~i$$ et on a: $$\arg Z=\arctan(-4\sqrt{3})$$
Soit en utilisant une calculatrice: $$~~\arg Z\sim -82^\circ$$
On a: \begin{align*} \dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}&=\dfrac{-i-(-\sqrt{3}+2i)}{i-(-\sqrt{3}+2i)}\\ \dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}&=\dfrac{\sqrt{3}-3i}{\sqrt{3}-i}\\ \dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}&=\sqrt{3}~~~\dfrac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}\\ \dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}&=\sqrt{3}~~~\dfrac{e^{-i\frac{\pi}{3}}}{e^{-i\frac{\pi}{6}}} \end{align*} Soit: $$\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}=\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{6}}$$ Géométriquement, on peut dire que le point $~B~$ représente l'image du point $A$ par la similitude directe dont:
- Le centre est: $~C$.
- L'angle de rotation est: $~~e^{-i\frac{\pi}{6}}$
- Le rapport est: $~~\sqrt{3}$

Énoncé de l'exercice :

Partie A:

Partie B:

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