- Montrer que : $$u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=0$$
- Montrer que :
- $~2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=u_1+u_4$.
- $~2\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=u_2+u_3$.
- En déduire que $~\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)~$est solution d'une équation de second degré que l'on déterminera.
- Résoudre cette équation, puis, en déduire les valeurs exactes de : \[\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right),\qquad \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)\qquad \text{et}\qquad \cos\left(\frac{\pi}{5}\right)\]
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Nombres complexes
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
On note $~(u_k)_{0\leqslant k\leqslant 4}~$ les racines cinquièmes de l'unité, $~(~u_k=e^{i\frac{2k\pi}{5}}~)~$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- En posant: $$~~u=u_1=e^{i\frac{2\pi}{5}}$$ on aura: $$u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=1+u+u^2+u^3+u^4$$ Et donc:$$~~u_0+u_1+u_2+u_3+u_4=\dfrac{u^5-1}{u-1}=0 $$ car: $\qquad ~(u-1\neq 0 )\qquad $ et $ \qquad (u^5-1 =0)~$
- On a: $$2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=u+\bar{u}$$ Or: $$u\times u^4=1\Longrightarrow \bar{u}=u^4 $$ On en déduit: $$2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=u+u^4$$ Soit: $$2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=u_1+u_4\qquad (1)$$
- On a: $$2\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=u_2+\overline{u_2}$$ D'autre part: $$~~u_2u_3=u^2\times u^3=1$$ Ce qui implique: $$\overline{u_2}=u_3$$ Soit: $$2\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=u_2+u_3\qquad (2)$$
- D'après $~(1)~$ et $~(2)~$ On a: $$2\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+2\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=u_1+u_2+u_3+u_4=-1$$ En outre on a: \begin{align*} &4\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=(u+u^4)(u^2+u^3)\\ &4\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\cos(\frac{4\pi}{5})=u^3+u^4+u^6+u^7\\ &4\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=u+u^2+u^3+u^4=-1 \end{align*} Soit: $$\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=-\dfrac{1}{4}$$ En résumé on a: \begin{cases} \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)+\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=-\dfrac{1}{2}\\\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=-\dfrac{1}{4}\\ \end{cases} On en déduit que $~\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ et $\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)~$ sont les racine de la quadratique: $$x^2+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}=0$$ Ou mieux (en multipliant par 4): $$4x^2+2x-1=0$$
- $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ est la racine positive de cette équation:
Soit: $$\color{magenta}\boxed{\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}}$$ - $\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)$ est la racine négative de l'équation:
Soit: $$\color{magenta}\boxed{\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)=-\dfrac{(\sqrt{5}+1)}{4}}$$
En plus on a: $$\cos\left(\frac{\pi}{5}\right)=\cos\left(\pi-\dfrac{4\pi}{5}\right)=-\cos\left(\frac{4\pi}{5}\right)$$ Soit: $$\color{magenta}\boxed{~\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}}$$
- $\cos\left(\frac{2\pi}{5}\right)$ est la racine positive de cette équation: