Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a, b]$ telles que :
\[ f(a) < g(a) \quad \text{et} \quad f(b) > g(b) \]Question :
- Démontrer qu'il existe au moins un réel $x_0 \in ]a, b[$ tel que $f(x_0) = g(x_0)$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Limites et Continuité
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
Soit la fonction $~h~$ définie sur $~[a, b~]$ par: $$~h(x) = f(x) - g(x)$$
- Comme $f$ et $g$ sont continues sur $[a, b]$, leur différence $h$ est continue sur $[a, b]$.
- Calculons les images aux bornes :
- $h(a) = f(a) - g(a) < 0~~$ (car $~f(a) < g(a)$).
- $h(b) = f(b) - g(b) > 0~~$ (car $~f(b) > g(b)$).
- D'aprÚs le théorÚme des valeurs intermédiaires, $0$ est compris entre $h(a)$ et $h(b)$, donc il existe au moins un réel $x_0 \in ]a, b[$ tel que $h(x_0) = 0$,
Soit $~f(x_0) = g(x_0)$.