1. Domaine de définition
Le domaine de définition est déjà précisé dans l'énoncé : $D_f = \mathbb{R}^*$.
En effet, la fonction est bien définie pour tout $x \neq 0$ car l'argument de la partie entière $\frac{1}{x}$ est défini sur cet ensemble.
2. Points de discontinuité de $f$
La fonction $f(x) = x E\left(\frac{1}{x}\right)$ fait intervenir la fonction partie entière $u \mapsto E(u)$.
On sait que la fonction $E$ est discontinue en chaque point de $\mathbb{Z}$.
Par conséquent, $f$ est susceptible d'être discontinue lorsque :
\[ \frac{1}{x} = k, \quad k \in \mathbb{Z}^* \]
C'est-à-dire pour les points :
\[ x_k = \frac{1}{k}, \quad k \in \mathbb{Z}^* \]
Vérifions la continuité en ces points en examinant les limites à gauche et à droite.
Soit $k \in \mathbb{Z}^*$ et $x_k = \frac{1}{k}$.
- Si $x \to (1/k)^+$, alors $1/x \to k^-$, donc $E(1/x) = k-1$. D'où $\lim_{x \to (1/k)^+} f(x) = \frac{k-1}{k} = 1 - \frac{1}{k}$.
- Si $x \to (1/k)^-$, alors $1/x \to k^+$, donc $E(1/x) = k$. D'où $\lim_{x \to (1/k)^-} f(x) = \frac{k}{k} = 1$.
Puisque $f(1/k) = \frac{1}{k} \cdot k = 1$, la fonction est continue à gauche en $1/k$ mais pas à droite (pour $k \neq 1$).
Conclusion : Les points de discontinuité de $f$ sont les points de l'ensemble $\{ \frac{1}{k} \mid k \in \mathbb{Z} \setminus \{0, 1\} \}$.
3. Prolongement par continuité en 0
Pour déterminer si $f$ admet un prolongement par continuité en 0, étudions la limite de $f$ en ce point.
On utilise l'encadrement classique de la partie entière :
\[ \forall u \in \mathbb{R}, \quad u - 1 < E(u) \leq u \]
En posant $u = \frac{1}{x}$ pour $x > 0$ :
\[ \frac{1}{x} - 1 < E\left(\frac{1}{x}\right) \leq \frac{1}{x} \]
En multipliant par $x > 0$ :
\[ 1 - x < x E\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1 \]
D'après le théorème des gendarmes :
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \]
Le même raisonnement s'applique pour $x < 0$ (en faisant attention au changement de sens de l'inégalité lors de la multiplication par $x$).
On obtient également $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1$.
Conclusion : Puisque $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$, la fonction $f$ admet un prolongement par continuité en 0 en posant $f(0) = 1$.