Exercice LC15

Exercice Publié par admin le 19 janvier 2026
Bac Sciences MathĂ©matiques & LycĂ©e Limites et ContinuitĂ© ÉnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©

Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.

ÉnoncĂ© de l'exercice :

Soit $f$ une fonction numérique continue sur $\mathbb{R}$ et telle que : $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = a\quad$ et $\quad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b\quad $ avec $\quad ab < 0$.
  1. Montrer que : $(\exists (x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2) \quad f(x_0) \cdot f(y_0) < 0$.
  2. En déduire que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet

    L'hypothĂšse $ab < 0$ implique que $a$ et $b$ sont de signes contraires.
    Supposons $a > 0~$ et $~b < 0$.
    1. Par définition de $~\lim_{x \to +\infty} f(x) = a$, pour $~\epsilon = \frac{a}{2}$, il existe $~A \in \mathbb{R}~$ tel que : \[ x > A \implies \frac{a}{2} < f(x) < \frac{3a}{2} \] On fixe alors un réel $x_0$ tel que $x_0 > A$. On a alors $f(x_0) > 0$.
    2. Par définition de $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$, pour $\epsilon = \frac{-b}{2}$, il existe $B \in \mathbb{R}$ tel que : \[ x < B \implies \frac{3b}{2} < f(x) < \frac{b}{2} \] On fixe alors un réel $y_0$ tel que $y_0 < B$. On a alors $f(y_0) < 0$.
    On a bien trouvé $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ tel que $f(x_0) \cdot f(y_0) < 0$.
  1. Existence de la solution :
    La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[y_0, x_0]$ (ou $[x_0, y_0]$).
    Comme $f(y_0)$ et $f(x_0)$ sont de signes contraires, $0$ est une valeur intermédiaire entre $f(y_0)$ et $f(x_0)$.
    D'aprÚs le ThéorÚme des Valeurs Intermédiaires, il existe au moins un réel $c \in \mathbb{R}$ tel que $f(c) = 0$.
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