Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Calcul intégral
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
ĂnoncĂ© de l'exercice :
Soit $a \in \mathbb{R}^*_+$ et $f$ une fonction continue sur le segment $[0; a]$. On définit la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ par : $u_n = \int_0^a \frac{f(x)}{1+nx} \,dx$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Majoration de la fonction sous l'intégrale :
- La fonction $f$ est continue sur le segment $[0, a]$. D'aprÚs le théorÚme des bornes atteintes, elle y est bornée.
- Il existe donc un réel positif $M$ tel que pour tout $x \in [0, a]$, on ait $|f(x)| \le M$.
- Pour tout entier $n \ge 1$ et pour tout $x \in [0, a]$, le dénominateur $1+nx$ est strictement positif (car $a > 0$ et $x \ge 0$). On peut donc majorer la valeur absolue de l'intégrande : \[ \left| \frac{f(x)}{1+nx} \right| = \frac{|f(x)|}{1+nx} \le \frac{M}{1+nx} \]
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Majoration de la suite $u_n$ :
- En utilisant l'inégalité triangulaire pour les intégrales (les bornes étant dans le sens croissant, $0 < a$) : \[ |u_n| = \left| \int_0^a \frac{f(x)}{1+nx} \,dx \right| \le \int_0^a \left| \frac{f(x)}{1+nx} \right| \,dx \]
- En appliquant la majoration trouvée précédemment et par croissance de l'intégrale sur $[0, a]$ : \[ |u_n| \le \int_0^a \frac{M}{1+nx} \,dx \]
- Calculons cette derniÚre intégrale : \[ \int_0^a \frac{M}{1+nx} \,dx = M \left[ \frac{\ln(1+nx)}{n} \right]_0^a = M \frac{\ln(1+na) - \ln(1)}{n} = M \frac{\ln(1+na)}{n} \]
- On obtient ainsi l'encadrement suivant pour la valeur absolue de la suite : \[ 0 \le |u_n| \le M \frac{\ln(1+na)}{n} \]
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Passage Ă la limite :
- Ătudions la limite du terme majorant lorsque $n$ tend vers $+\infty$. \[ \frac{\ln(1+na)}{n} = \frac{\ln\left(n(a + \frac{1}{n})\right)}{n} = \frac{\ln(n)}{n} + \frac{\ln(a + \frac{1}{n})}{n} \]
- Par croissances comparées, on sait que $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0$.
- De plus, puisque $a > 0$, la quantité $\ln(a + \frac{1}{n})$ tend vers la constante $\ln(a)$, donc le quotient $\frac{\ln(a + \frac{1}{n})}{n}$ tend également vers $0$.
- On a donc : \[ \lim_{n \to +\infty} M \frac{\ln(1+na)}{n} = 0 \]
- D'aprÚs le théorÚme des gendarmes (ou théorÚme d'encadrement), on conclut rigoureusement que : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 \]