Calculer :
- $\lim\limits_{x \to 0^+} \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}}$
- $\lim\limits_{x \to +\infty} \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{t}}$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Calcul intégral
ĂnoncĂ© avec corrigĂ© dĂ©taillĂ©
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ĂnoncĂ© de l'exercice :
Calculer :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
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Calcul de $\lim\limits_{x \to 0^+} \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}}$
- Soit $x > 0$. On s'intéresse à l'intervalle d'intégration $[x, 2x]$. L'idée est d'encadrer la fonction sous l'intégrale pour utiliser le théorÚme des gendarmes (ou de comparaison).
- Pour tout $t \in [x, 2x]$, on a la minoration et la majoration suivantes : \[ x \le t \le 2x \implies x^2 \le t^2 \le 4x^2 \implies 1+x^2 \le 1+t^2 \le 1+4x^2 \]
- La fonction racine carrée étant strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, on en déduit : \[ \sqrt{1+x^2} \le \sqrt{1+t^2} \le \sqrt{1+4x^2} \]
- En passant à l'inverse (les quantités étant strictement positives), l'ordre est inversé : \[ \frac{1}{\sqrt{1+4x^2}} \le \frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \le \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \]
- On multiplie chaque membre par $\frac{1}{t^2}$ (qui est strictement positif sur l'intervalle) : \[ \frac{1}{t^2\sqrt{1+4x^2}} \le \frac{1}{t^2\sqrt{1+t^2}} \le \frac{1}{t^2\sqrt{1+x^2}} \]
- Par croissance de l'intégrale sur $[x, 2x]$ (puisque $x < 2x$) : \[ \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+4x^2}} \le \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}} \le \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+x^2}} \]
- Les termes contenant les racines étant constants par rapport à la variable d'intégration $t$, on peut les sortir. Calculons l'intégrale commune restante : \[ \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2} = \left[ -\frac{1}{t} \right]_x^{2x} = -\frac{1}{2x} - \left(-\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{2x} + \frac{2}{2x} = \frac{1}{2x} \]
- L'encadrement devient alors : \[ \frac{1}{2x\sqrt{1+4x^2}} \le \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}} \le \frac{1}{2x\sqrt{1+x^2}} \]
- Ătudions la limite de la borne infĂ©rieure quand $x \to 0^+$ :
Le dénominateur tend vers $0^+$ : $\lim_{x \to 0^+} 2x\sqrt{1+4x^2} = 0^+$.
On en déduit par quotient : $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2x\sqrt{1+4x^2}} = +\infty$. - D'aprÚs le théorÚme de comparaison, on conclut : \[ \lim_{x \to 0^+} \int_x^{2x} \frac{dt}{t^2\sqrt{1+t^2}} = +\infty \]
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Calcul de $\lim\limits_{x \to +\infty} \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{t}}$
- Soit $x > 0$. Sur l'intervalle $[x, 2x]$, considérons la fonction $f(t) = \frac{1}{1+\sqrt{t}}$.
- Cette fonction est strictement décroissante sur $\mathbb{R}^+$. Ainsi, son minimum sur l'intervalle est atteint en $2x$ et son maximum en $x$. Pour tout $t \in [x, 2x]$ : \[ \frac{1}{1+\sqrt{2x}} \le \frac{1}{1+\sqrt{t}} \le \frac{1}{1+\sqrt{x}} \]
- Par croissance de l'intégrale sur $[x, 2x]$, on intÚgre ces bornes constantes : \[ \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{2x}} \le \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{t}} \le \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{x}} \]
- La longueur de l'intervalle d'intégration est $(2x - x) = x$. L'encadrement se simplifie donc en : \[ \frac{x}{1+\sqrt{2x}} \le \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{t}} \le \frac{x}{1+\sqrt{x}} \]
- Pour évaluer la limite en $+\infty$, levons l'indétermination sur la borne inférieure en factorisant par le terme dominant au dénominateur ($\sqrt{x}$) : \[ \frac{x}{1+\sqrt{2x}} = \frac{x}{\sqrt{x} \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2}\right)} = \frac{\sqrt{x}}{\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2}} \]
- Calculons la limite de ce quotient :
On sait que le numérateur $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$.
Le dénominateur tend vers une constante strictement positive : $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2}\right) = \sqrt{2}$.
Par produit et quotient de limites, on obtient : \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{2}} = +\infty \] - La borne inférieure tendant vers $+\infty$, le théorÚme de comparaison permet de conclure immédiatement : \[ \lim_{x \to +\infty} \int_x^{2x} \frac{dt}{1+\sqrt{t}} = +\infty \]