Résoudre dans $~\Bbb R~$ les équations suivantes:
- $\exp{(x^2)}=(\exp(x))^2$
- $\exp{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}=\exp{\left(\frac{1}{x-1}\right)}$
- $\exp(x^2+\frac{1}{x^2})=e^2$
- $\exp(x^2+x-2) \lt 1 $
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Fonctions exponentielles
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Equation: $~\exp(x^2) = (\exp(x))^2$ :
D'après les propriétés de la fonction exponentielle,on a: \[(\exp(x))^2 = \exp(2x)\] L'équation devient : \[ \exp(x^2) = \exp(2x) \] Par injection de la fonction exponentielle, cela équivaut à : \[ x^2 = 2x \iff x^2 - 2x = 0 \iff x(x - 2) = 0 \] L'ensemble des solutions est $S = \{0, 2\}$. - Equation: $\exp\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \exp\left(\frac{1}{x-1}\right)$ :
L'équation est définie pour $x \neq 1$. Par injection, on a : \[ \frac{x+1}{x-1} = \frac{1}{x-1} \] Comme les dénominateurs sont identiques et non nuls, cela implique : \[ x + 1 = 1 \iff x = 0 \] L'ensemble des solutions est $S = \{0\}$. - Equation: $~\exp(x^2 + \frac{1}{x^2}) = e^2$ :
L'équation est définie pour $x \in \mathbb{R}^*$. Elle équivaut à : \[ x^2 + \frac{1}{x^2} = 2 \] En multipliant par $x^2$, on obtient : \[ x^4 + 1 = 2x^2 \iff x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \] On reconnaît une identité remarquable : \[ (x^2 - 1)^2 = 0 \iff x^2 = 1 \] L'ensemble des solutions est $S = \{-1, 1\}$. - Inéquation: $~\exp(x^2 + x - 2) < 1$ :
Puisque $1 = \exp(0)$ et que la fonction exponentielle est strictement croissante, l'inéquation équivaut à : \[ x^2 + x - 2 =(x-1)(x+2)< 0 \] L'ensemble des solutions est $S = ]-2, 1[$.