Exercice EXP15 : Énoncé & Corrigé Détaillé

Liban Bac S 2004

Soit $ f $ la fonction définie sur $ \mathbb{R} $ par : \begin{align*} f : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto x + \ln 4 + \frac{2}{e^{x}+1} \end{align*} et $ (C) $ sa représentation graphique dans un repère du plan.

Déterminer la limite de $ f $ en $ +\infty $ et sa limite en $ -\infty $.

Calculer, pour tout réel $ x $, $ f(x) + f(-x) $. Que peut-on en déduire pour le point $ A(0 ; 1 + \ln 4) $ ?

Étudier le sens de variations de la fonction $ f $ et dresser son tableau de variations.

1. Justifier que, pour tout réel $ m $, l'équation $ f(x) = m $ admet une solution unique dans $ \mathbb{R} $.
2. Déterminer un encadrement d'amplitude $ 10^{-1} $ de la solution $ \alpha $ de l'équation $ f(x) = 3 $. Justifier la réponse.
3. Pour quelle valeur de $ m $ le nombre $ 0 $ est-il solution de l'équation $ f(x) = m $ ?

1. Montrer que pour tout réel $ x $ : \[ f(x) = x + 2 + \ln 4 - \frac{2e^{x}}{e^{x}+1} \]
2. Montrer que la droite $ (\Delta) $ d'équation $ y = x + \ln 4 $ et la droite $ (\Delta') $ d'équation $ y = x + 2 + \ln 4 $ sont des asymptotes de la courbe $ (C) $.
3. Étudier la position de la courbe $ (C) $ par rapport à son asymptote $ (\Delta) $.

1. On considère un réel positif $ a $. Que représente l'intégrale : \[ I(a) = \int_{0}^{a} [f(x) - x - \ln 4] \, dx \]
2. Montrer que $ I(a) = 2 \ln\left(\frac{2e^{a}}{e^{a}+1}\right) $. (On pourra utiliser le résultat de la question 5.a).
3. Calculer $ a $ pour que $ I(a) = 1 $, puis donner une valeur approchée de $ a $ à $ 10^{-1} $ près.

Bac S Liban 2004

1. Étude des limites
- En $+\infty$ :
  $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x+1} = 0$ et $\lim_{x \to +\infty} (x + \ln 4) = +\infty$,
  on obtient: $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
- En $-\infty$ :
  On a $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{2}{e^x+1} = 2$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} (x + \ln 4) = -\infty$.
  On obtient: $~\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.
2. Centre de symétrie
Pour tout réel $x$, $f(x) + f(-x) = (x + \ln 4 + \frac{2}{e^x+1}) + (-x + \ln 4 + \frac{2}{e^{-x}+1})$.
En simplifiant : \[2\ln 4 + \frac{2}{e^x+1} + \frac{2e^x}{1+e^x} = 2\ln 4 + 2\] La relation: $~f(x) + f(-x) = 2(1+\ln 4)~$ prouve que le point $~A(0, 1+\ln 4)~$ est le centre de symétrie de $(C)$.
3. Sens de variations
La dérivée est $f'(x) = 1 - \frac{2e^x}{(e^x+1)^2} = \frac{e^{2x}+1}{(e^x+1)^2}>0$.
La fonction est donc strictement croissante.
Tableau de variations:

Courbe représentative de $f$:

Courbe $\mathcal C$

Légende:
$f(x) = x+\log(4)+\dfrac{2}{1+e^x}$
4. Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est continue et strictement croissante sur $~\mathbb{R}~$ et $~f(\mathbb{R})=\Bbb R$.
D'après le TVI, l'équation $f(x)=m$ admet une unique solution $\alpha$.
Pour $f(x)=3$, on trouve par balayage à la calculatrice : $1,1 < \alpha < 1,2$.
5. Asymptotes et positions relatives
- $(\Delta) : y = x + \ln 4)$ est asymptote car $f(x) - (x+\ln 4) = \frac{2}{e^x+1}$, qui tend vers $0$ en $+\infty$.
- Comme $\frac{2}{e^x+1} > 0$ pour tout $x$, la courbe $(C)$ est toujours au-dessus de $(\Delta)$.
- En $-\infty$:
  $f(x) = x + 2 + \ln 4 - \frac{2e^x}{e^x+1}$.
  L'écart avec $(\Delta') : y = x + 2 + \ln 4~$ tend vers $~0~$ car $~e^x \to 0~$.
6. Calcul d'aire (Intégrale)
$I(a) = \int_0^a [f(x) - (x+\ln 4)] dx = \int_0^a \frac{2}{e^x+1} dx$.
En utilisant la forme $2 - \frac{2e^x}{e^x+1}$, une primitive est $H(x) = 2x - 2\ln(e^x+1)$.
\[I(a) = [2x - 2\ln(e^x+1)]_0^a = 2a - 2\ln(e^a+1) + 2\ln(2) \] Soit: \[I(a)= 2\ln\left(\frac{2e^a}{e^a+1}\right)\]

Énoncé de l'exercice :

Liban Bac S 2004

Bac S Liban 2004

1. Étude des limites

2. Centre de symétrie

3. Sens de variations

Tableau de variations:

Courbe représentative de $f$:

Courbe $\mathcal C$

4. Théorème des valeurs intermédiaires

5. Asymptotes et positions relatives

6. Calcul d'aire (Intégrale)

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